$x^4 - 4$ を係数の範囲が有理数、実数、複素数の範囲で因数分解する。

1. 問題の内容

$x^4 - 4$ を係数の範囲が有理数、実数、複素数の範囲で因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、$x^4 - 4$ を因数分解する。

$x^4 - 4 = (x^2)^2 - 2^2 = (x^2 - 2)(x^2 + 2)$

(1) 有理数の範囲での因数分解：

$x^2 - 2$ は有理数の範囲では因数分解できないため、

$x^4 - 4 = (x^2 - 2)(x^2 + 2)$

(2) 実数の範囲での因数分解：

$x^2 - 2 = (x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})$

$x^2 + 2$ は実数の範囲では因数分解できない。

よって、

$x^4 - 4 = (x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})(x^2 + 2)$

(3) 複素数の範囲での因数分解：

$x^2 + 2 = (x - i\sqrt{2})(x + i\sqrt{2})$

よって、

$x^4 - 4 = (x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})(x - i\sqrt{2})(x + i\sqrt{2})$

3. 最終的な答え

* 有理数：$(x^2 - 2)(x^2 + 2)$

* 実数：$(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})(x^2 + 2)$

* 複素数：$(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})(x - i\sqrt{2})(x + i\sqrt{2})$