多項式 $x^3 + ax^2 - x + 3$ を $x-1$ で割ったときの余りが7であるとき、$a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

多項式 $x^3 + ax^2 - x + 3$ を $x-1$ で割ったときの余りが7であるとき、$a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

剰余の定理より、多項式 $P(x)$ を $x-k$ で割ったときの余りは $P(k)$ である。したがって、

$P(x) = x^3 + ax^2 - x + 3$ を $x-1$ で割ったときの余りは $P(1)$ である。

問題文より、この余りが7なので、$P(1) = 7$ となる。

$P(1) = 1^3 + a(1)^2 - 1 + 3 = 1 + a - 1 + 3 = a + 3$

したがって、$a + 3 = 7$ となる。

この式を解いて、$a$ の値を求める。

$a = 7 - 3 = 4$

3. 最終的な答え

$a = 4$