$\sqrt{\frac{2520}{n}}$ が自然数となるような自然数 $n$ のうちで最も小さい値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\sqrt{\frac{2520}{n}}$ が自然数となるような自然数 $n$ のうちで最も小さい値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、2520を素因数分解します。画像から、

$2520 = 2 \times 1260 = 2 \times 2 \times 630 = 2 \times 2 \times 2 \times 315 = 2^3 \times 315 = 2^3 \times 3 \times 105 = 2^3 \times 3 \times 3 \times 35 = 2^3 \times 3^2 \times 5 \times 7$

よって、

$2520 = 2^3 \times 3^2 \times 5 \times 7$

したがって、

$\sqrt{\frac{2520}{n}} = \sqrt{\frac{2^3 \times 3^2 \times 5 \times 7}{n}}$

この値が自然数となるためには、ルートの中身が平方数でなければなりません。

すなわち、$2^3 \times 3^2 \times 5 \times 7$ を $n$ で割ったものが平方数になる必要があります。

$n$ はできるだけ小さい方が良いので、$n$ は $2^3 \times 3^2 \times 5 \times 7$ のうち、平方数になっていない部分をなくすように決めます。

$2^3 \times 3^2 \times 5 \times 7 = 2^2 \times 2 \times 3^2 \times 5 \times 7 = (2^2 \times 3^2) \times (2 \times 5 \times 7)$

平方数でない部分は $2 \times 5 \times 7 = 70$ です。

したがって、$\sqrt{\frac{2520}{n}}$ が自然数となる最小の $n$ は $n = 2 \times 5 \times 7 = 70$ です。

$\sqrt{\frac{2520}{70}} = \sqrt{36} = 6$

3. 最終的な答え

n = 70