分数 $\frac{77}{111}$ を小数で表したとき、小数第 $n$ 位にあらわれる数字を $a_n$ とする。$a_n$ を $n$ を用いた1つの式で表す。

1. 問題の内容

分数 $\frac{77}{111}$ を小数で表したとき、小数第 $n$ 位にあらわれる数字を $a_n$ とする。$a_n$ を $n$ を用いた1つの式で表す。

2. 解き方の手順

$\frac{77}{111}$ を小数で表す。

$\frac{77}{111} = \frac{7}{10} \times \frac{10}{11.1} = \frac{7}{10} \times 0.9009009... = \frac{7}{10} \times \frac{10}{111/10} \times 10 = \frac{70}{111} = 0.693693693... = 0.\overline{693}$

この小数表示から、小数第 $n$ 位の数字は、 $n$ を3で割った余りによって決まることがわかる。

$n \equiv 1 \pmod{3}$ のとき $a_n = 6$

$n \equiv 2 \pmod{3}$ のとき $a_n = 9$

$n \equiv 0 \pmod{3}$ のとき $a_n = 3$

したがって、$a_n$ は周期3の数列である。

$a_n = \begin{cases} 6 & (n \equiv 1 \pmod{3}) \\ 9 & (n \equiv 2 \pmod{3}) \\ 3 & (n \equiv 0 \pmod{3}) \end{cases}$

または、三角関数を使って表現することもできる。

$a_n = A \sin(\frac{2\pi}{3}(n-1)) + B$

$n=1$ のとき、$a_1 = A \sin(0) + B = B = 6$

$n=2$ のとき、$a_2 = A \sin(\frac{2\pi}{3}) + 6 = 9$

$A \sin(\frac{2\pi}{3}) = 3$

$A \frac{\sqrt{3}}{2} = 3$

$A = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$

$a_n = 2\sqrt{3} \sin(\frac{2\pi}{3}(n-1)) + 6$

3. 最終的な答え

$a_n = 2\sqrt{3} \sin(\frac{2(n-1)\pi}{3}) + 6$