カレンダーの中の特定の位置関係にある5つの数 $a, b, c, d, e$ (図を参照) の和 $a + b + c + d + e$ が常に5の倍数になるという予想が正しいことを証明する問題です。具体的には、まずいくつかの例について予想が成り立つかを確認し、その後、一般的に予想が成り立つことを証明します。

1. 問題の内容

カレンダーの中の特定の位置関係にある5つの数 $a, b, c, d, e$ (図を参照) の和 $a + b + c + d + e$ が常に5の倍数になるという予想が正しいことを証明する問題です。具体的には、まずいくつかの例について予想が成り立つかを確認し、その後、一般的に予想が成り立つことを証明します。

2. 解き方の手順

(1) 具体的な値で予想が成り立つか確認します。

* $a = 6, b = 12, c = 13, d = 14, e = 20$ のとき:

$a + b + c + d + e = 6 + 12 + 13 + 14 + 20 = 65 = 5 \times 13$。

これは5の倍数なので、予想は成り立ちます。

* $a = 15, b = 21, c = 22, d = 23, e = 29$ のとき:

$a + b + c + d + e = 15 + 21 + 22 + 23 + 29 = 110 = 5 \times 22$。

これも5の倍数なので、予想は成り立ちます。

(2) 一般的な場合について証明します。

$a$ を任意の整数 $n$ とします。カレンダーの図から、他の変数は次のように表せます。

* $b = n + 6$

* $c = n + 7$

* $d = n + 8$

* $e = n + 14$

したがって、$a + b + c + d + e$ は次のように表せます。

$a + b + c + d + e = n + (n + 6) + (n + 7) + (n + 8) + (n + 14)$

これを整理すると、

$a + b + c + d + e = 5n + 35 = 5(n + 7)$

これは5の倍数であることがわかります。

3. 最終的な答え

(1)

* $a = 6, b = 12, c = 13, d = 14, e = 20$ のとき、和は65で5の倍数となり、予想は成り立つ。

* $a = 15, b = 21, c = 22, d = 23, e = 29$ のとき、和は110で5の倍数となり、予想は成り立つ。

(2)

$a = n$ とすると、$a + b + c + d + e = 5(n + 7)$となり、これは常に5の倍数である。したがって、予想は常に成り立つ。