問題は、和の記号 $\sum$ を用いて表された数列の和を求めるものです。具体的には、以下の式で表される和を計算します。 $\sum_{k=2}^{n} (\frac{1}{k-1} - \frac{1}{k+1})$ また、問題の画像には、 * $n=2$ の場合 * $n=3$ の場合 * $n=4$ の場合 の結果が個別に計算されています。 そして、$n \geq 5$ の場合について、$\sum_{k=2}^{n} (\frac{1}{k-1} - \frac{1}{k+1}) = \frac{3}{2} - \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$ という結果が得られています。 画像には、なぜ $n=2,3,4$ の場合についても、$\frac{3}{2} - \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$ が成り立つことを確認する必要があるのか、という疑問が書かれています。

はい、承知しました。画像にある数学の問題とその疑問点について説明します。

1. 問題の内容

問題は、和の記号 $\sum$ を用いて表された数列の和を求めるものです。具体的には、以下の式で表される和を計算します。

$\sum_{k=2}^{n} (\frac{1}{k-1} - \frac{1}{k+1})$

また、問題の画像には、

* $n=2$ の場合

* $n=3$ の場合

* $n=4$ の場合

の結果が個別に計算されています。

そして、$n \geq 5$ の場合について、$\sum_{k=2}^{n} (\frac{1}{k-1} - \frac{1}{k+1}) = \frac{3}{2} - \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$ という結果が得られています。

画像には、なぜ $n=2,3,4$ の場合についても、$\frac{3}{2} - \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$ が成り立つことを確認する必要があるのか、という疑問が書かれています。

2. 解き方の手順

和の計算の手順は以下の通りです。

1. 与えられた数列の和を展開します。

$\sum_{k=2}^{n} (\frac{1}{k-1} - \frac{1}{k+1}) = (1 - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + \dots + (\frac{1}{n-2} - \frac{1}{n}) + (\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n+1})$

2. この式は、隣り合う項が打ち消し合う、いわゆる「telescoping sum（伸縮和）」の形をしています。多くの項が打ち消しあい、最終的にいくつかの項だけが残ります。

3. 残った項を整理すると、以下のようになります。

$1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \frac{3}{2} - \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$

次に、なぜ $n=2, 3, 4$ の場合についても、この結果が正しいことを確認する必要があるのか、という疑問について説明します。

$n \geq 5$ として計算を行う際、和の展開において、多くの項が打ち消しあうことを利用しています。しかし、$n$ が小さい場合、項の数が少ないため、この打ち消し合いのパターンが成り立たない可能性があります。

例えば、$n=2$ の場合、$\sum_{k=2}^{2} (\frac{1}{k-1} - \frac{1}{k+1}) = 1 - \frac{1}{3}$ です。

$n=3$ の場合、$\sum_{k=2}^{3} (\frac{1}{k-1} - \frac{1}{k+1}) = (1 - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{4})$ です。

これらの場合では、項の数が少ないため、$n \geq 5$ の場合のように一般化した式が適用できるかどうかは自明ではありません。そのため、個別に計算して、$\frac{3}{2} - \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$ の結果が正しいことを確認する必要があります。言い換えると、$n=2, 3, 4$ は、$n \geq 5$ の場合の計算の前提条件を満たさない可能性があるため、個別に検証することで、$\frac{3}{2} - \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$ という結果の一般性を保証しているのです。

3. 最終的な答え

数列の和は、

$\sum_{k=2}^{n} (\frac{1}{k-1} - \frac{1}{k+1}) = \frac{3}{2} - \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$

であり、$n=2, 3, 4$ の場合についても、この式が成り立つことを確認する必要があります。