数列 $\{a_n\}$ は初項が3、公比が $\frac{1}{5}$ の等比数列である。数列 $\{n^2 a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n = \sum_{k=1}^{n} k^2 a_k$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ は初項が3、公比が $\frac{1}{5}$ の等比数列である。数列 $\{n^2 a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n = \sum_{k=1}^{n} k^2 a_k$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。

$a_n = 3 \left( \frac{1}{5} \right)^{n-1}$

次に、数列 $\{n^2 a_n\}$ の一般項を求める。

$n^2 a_n = n^2 \cdot 3 \left( \frac{1}{5} \right)^{n-1} = 3n^2 \left( \frac{1}{5} \right)^{n-1}$

求める和は

$S_n = \sum_{k=1}^{n} k^2 a_k = \sum_{k=1}^{n} 3k^2 \left( \frac{1}{5} \right)^{k-1} = 3 \sum_{k=1}^{n} k^2 \left( \frac{1}{5} \right)^{k-1}$

ここで、$\sum_{k=1}^n k^2 x^{k-1}$ を求めることを考える。

$S(x) = \sum_{k=1}^{n} k^2 x^{k-1}$

$xS(x) = \sum_{k=1}^{n} k^2 x^{k}$

$(xS(x))' = \sum_{k=1}^{n} k^3 x^{k-1}$

$\sum_{k=1}^{n} x^k = \frac{x(1-x^n)}{1-x}$

$\sum_{k=1}^{n} kx^{k-1} = \left( \frac{x(1-x^n)}{1-x} \right)' = \frac{(1-(n+1)x^n)(1-x) + x(1-x^n)}{(1-x)^2} = \frac{1-x-(n+1)x^n+(n+1)x^{n+1}+x-x^{n+1}}{(1-x)^2} = \frac{1-(n+1)x^n+nx^{n+1}}{(1-x)^2}$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 x^{k-1} = \left( \frac{1-(n+1)x^n+nx^{n+1}}{(1-x)^2} x \right)' = \frac{1+x}{(1-x)^3} - \frac{(n^2+n)x^{n+1} + (-2n^2-2n)x^n+(n^2+3n+2)x^{n-1}}{(1-x)^3}$

$S_n = 3 \sum_{k=1}^{n} k^2 \left( \frac{1}{5} \right)^{k-1}$ に、$x=\frac{1}{5}$ を代入する。

$\sum_{k=1}^n k^2 x^{k-1} = \frac{1-(\frac{1}{5})^{n} (n+1) + (\frac{1}{5})^{n+1} n}{(1-\frac{1}{5})^2} = \frac{1 - (n+1)(\frac{1}{5})^n + n(\frac{1}{5})^{n+1}}{(\frac{4}{5})^2} = \frac{25}{16} [1-(n+1)5^{-n}+n5^{-n-1}]$

$= \frac{25}{16} [1 - \frac{5(n+1)-n}{5^{n+1}}] = \frac{25}{16} [1 - \frac{4n+5}{5^{n+1}}]$

$S_n = 3 \cdot \frac{25}{16} \left( 1 - \frac{4n+5}{5^{n+1}} \right) = \frac{75}{16} \left( 1 - \frac{4n+5}{5^{n+1}} \right)$

3. 最終的な答え

$S_n = \frac{75}{16} \left( 1 - \frac{4n+5}{5^{n+1}} \right)$