定積分 $\int_{0}^{2} |x^{2}-1| dx$ を求めよ。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{2} |x^{2}-1| dx$ を求めよ。

2. 解き方の手順

絶対値の中の関数 $x^{2}-1$ が正となる区間と負となる区間を考える。

$x^{2}-1 = 0$ となるのは $x = \pm 1$ のときである。

積分区間 $[0, 2]$ において、$0 \le x < 1$ のとき $x^{2} - 1 < 0$ であり、$1 < x \le 2$ のとき $x^{2} - 1 > 0$ である。したがって、

$|x^{2} - 1| = \begin{cases} -(x^{2}-1) & (0 \le x < 1) \\ x^{2}-1 & (1 < x \le 2) \end{cases}$

となる。よって、積分を分割して絶対値を外すと

$\int_{0}^{2} |x^{2}-1| dx = \int_{0}^{1} -(x^{2}-1) dx + \int_{1}^{2} (x^{2}-1) dx$

$= \int_{0}^{1} (1-x^{2}) dx + \int_{1}^{2} (x^{2}-1) dx$

$= \left[ x - \frac{x^{3}}{3} \right]_{0}^{1} + \left[ \frac{x^{3}}{3} - x \right]_{1}^{2}$

$= (1 - \frac{1}{3} - (0 - 0)) + (\frac{8}{3} - 2 - (\frac{1}{3} - 1))$

$= \frac{2}{3} + (\frac{8}{3} - 2 - \frac{1}{3} + 1)$

$= \frac{2}{3} + (\frac{7}{3} - 1)$

$= \frac{2}{3} + \frac{4}{3}$

$= \frac{6}{3}$

$= 2$

3. 最終的な答え

2