数列 $\{a_n\}$ は、初項が3、公比が $\frac{1}{5}$ の等比数列である。このとき、数列 $\{n^2 a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n = \sum_{k=1}^n k^2 a_k$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ は、初項が3、公比が $\frac{1}{5}$ の等比数列である。このとき、数列 $\{n^2 a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n = \sum_{k=1}^n k^2 a_k$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。初項が $a=3$、公比が $r=\frac{1}{5}$ の等比数列なので、

$$a_n = a r^{n-1} = 3 \left( \frac{1}{5} \right)^{n-1}$$

したがって、$S_n$ は次のように表せる。

$$S_n = \sum_{k=1}^n k^2 a_k = \sum_{k=1}^n k^2 \cdot 3 \left( \frac{1}{5} \right)^{k-1} = 3 \sum_{k=1}^n k^2 \left( \frac{1}{5} \right)^{k-1}$$

ここで、$T_n = \sum_{k=1}^n k^2 x^{k-1}$ とおくと、$x = \frac{1}{5}$ である。

$T_n = 1^2 + 2^2 x + 3^2 x^2 + \dots + n^2 x^{n-1}$

$x T_n = 1^2 x + 2^2 x^2 + \dots + (n-1)^2 x^{n-1} + n^2 x^n$

$(1-x) T_n = 1^2 + (2^2 - 1^2) x + (3^2 - 2^2) x^2 + \dots + (n^2 - (n-1)^2) x^{n-1} - n^2 x^n$

$= 1 + (2+1) x + (3+2) x^2 + \dots + (n+n-1) x^{n-1} - n^2 x^n$

$= 1 + 3 x + 5 x^2 + \dots + (2n-1) x^{n-1} - n^2 x^n$

$U_n = 1 + 3 x + 5 x^2 + \dots + (2n-1) x^{n-1}$ とおくと、

$x U_n = x + 3 x^2 + \dots + (2n-3) x^{n-1} + (2n-1) x^n$

$(1-x) U_n = 1 + 2 x + 2 x^2 + \dots + 2 x^{n-1} - (2n-1) x^n$

$= 1 + 2 \sum_{k=1}^{n-1} x^k - (2n-1) x^n$

$= 1 + 2 \frac{x(1-x^{n-1})}{1-x} - (2n-1) x^n$

$= \frac{1-x + 2x(1-x^{n-1}) - (2n-1)x^n(1-x)}{1-x}$

$= \frac{1+x - 2 x^n - (2n-1)x^n + (2n-1)x^{n+1}}{1-x}$

$= \frac{1+x - (2n+1)x^n + (2n-1)x^{n+1}}{1-x}$

$(1-x) T_n = U_n - n^2 x^n = \frac{1+x - (2n+1)x^n + (2n-1)x^{n+1}}{(1-x)} - n^2 x^n$

$T_n = \frac{1+x - (2n+1)x^n + (2n-1)x^{n+1} - n^2 x^n (1-x)}{(1-x)^2}$

$= \frac{1+x - (2n+1)x^n + (2n-1)x^{n+1} - n^2 x^n + n^2 x^{n+1}}{(1-x)^2}$

$= \frac{1+x - (n^2+2n+1)x^n + (n^2+2n-1)x^{n+1}}{(1-x)^2}$

$S_n = 3 T_n = 3 \frac{1+x - (n+1)^2 x^n + (n^2+2n-1)x^{n+1}}{(1-x)^2}$

$x = \frac{1}{5}$ より、$1-x = \frac{4}{5}$, $(1-x)^2 = \frac{16}{25}$, $1+x = \frac{6}{5}$

$S_n = 3 \frac{\frac{6}{5} - (n+1)^2 \left( \frac{1}{5} \right)^n + (n^2+2n-1) \left( \frac{1}{5} \right)^{n+1}}{\frac{16}{25}}$

$= 3 \cdot \frac{25}{16} \left( \frac{6}{5} - \frac{(n+1)^2}{5^n} + \frac{n^2+2n-1}{5^{n+1}} \right)$

$= \frac{75}{16} \left( \frac{6 \cdot 5^n - 5(n+1)^2 + n^2+2n-1}{5^{n+1}} \right)$

$= \frac{75}{16} \left( \frac{6 \cdot 5^n - 5(n^2+2n+1) + n^2+2n-1}{5^{n+1}} \right)$

$= \frac{75}{16} \left( \frac{6 \cdot 5^n - 5n^2 - 10n - 5 + n^2+2n-1}{5^{n+1}} \right)$

$= \frac{75}{16} \left( \frac{6 \cdot 5^n - 4n^2 - 8n - 6}{5^{n+1}} \right)$

$= \frac{75}{8} \left( \frac{3 \cdot 5^n - 2n^2 - 4n - 3}{5^{n+1}} \right)$

3. 最終的な答え

$S_n = \frac{15}{8} \cdot \frac{3 \cdot 5^n - 2n^2 - 4n - 3}{5^n}$

または

$S_n = \frac{15}{8} \left( 3 - \frac{2n^2+4n+3}{5^n} \right)$

$S_n = \frac{75(3 \cdot 5^n - 2n^2 - 4n - 3)}{8 \cdot 5^{n+1}} = \frac{15(3 \cdot 5^n - 2n^2 - 4n - 3)}{8 \cdot 5^n}$

$S_n = \frac{15}{8} \left( 3 - \frac{2n^2 + 4n + 3}{5^n} \right)$