与えられた関数 $(\frac{d}{dt})(\frac{1}{1-\frac{d}{dt}}(\sin t - \cos t))$ の導関数を計算します。

1. 問題の内容

与えられた関数 $(\frac{d}{dt})(\frac{1}{1-\frac{d}{dt}}(\sin t - \cos t))$ の導関数を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$\sin t - \cos t$ の $t$ に関する導関数を計算します。

$\frac{d}{dt}(\sin t - \cos t) = \cos t + \sin t$

次に、$\frac{1}{1-\frac{d}{dt}}$ に $(\sin t - \cos t)$ を作用させることを考えます。ここで $\frac{d}{dt}(\sin t - \cos t) = \cos t + \sin t$ なので、

$\frac{1}{1-\frac{d}{dt}} (\sin t - \cos t) = \frac{1}{1 - (\frac{d}{dt})} (\sin t - \cos t)$

これは、

$y = \frac{1}{1-\frac{d}{dt}} (\sin t - \cos t)$

とすると、

$(1-\frac{d}{dt})y = \sin t - \cos t$

$y - \frac{dy}{dt} = \sin t - \cos t$

$\frac{dy}{dt} - y = \cos t - \sin t$

これを解く必要があります。まず同次方程式 $\frac{dy}{dt} - y = 0$ を解きます。この解は $y = Ce^t$ です（$C$ は定数）。次に特殊解を見つけます。$y = A\cos t + B\sin t$ を代入すると、

$-A\sin t + B\cos t - A\cos t - B\sin t = \cos t - \sin t$

$(-A-B)\sin t + (B-A)\cos t = -\sin t + \cos t$

$-A-B=-1$

$B-A=1$

これを解いて、

$-2A = 0$, $A=0$, $B=1$

よって、特殊解は $y = \sin t$

したがって、一般解は $y = Ce^t + \sin t$ となります。

ここで $t=0$ のとき、$y=0$と仮定すると、$0 = C + 0$となり、$C=0$ よって、$y = \sin t$

したがって、$\frac{1}{1-\frac{d}{dt}}(\sin t - \cos t) = \sin t$

最後に、$\frac{d}{dt} \sin t = \cos t$

3. 最終的な答え

$\cos t$