問題は、与えられた極限の公式を利用して、$e^x$ と $\log x$ の1階微分を求めることです。ただし、$x > 0$ が条件として与えられています。

1. 問題の内容

問題は、与えられた極限の公式を利用して、$e^x$ と $\log x$ の1階微分を求めることです。ただし、$x > 0$ が条件として与えられています。

2. 解き方の手順

(1) $e^x$ の微分

与えられた極限の式(4) $\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1$ を利用します。

$f(x) = e^x$ とすると、その微分は定義より

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{e^{x+h} - e^x}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{e^x e^h - e^x}{h} = e^x \lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h}$

$= e^x \cdot 1 = e^x$

(2) $\log x$ の微分

$y = \log x$ とすると、$x = e^y$ となります。

両辺を $x$ で微分すると、

$1 = \frac{d}{dx} e^y = e^y \frac{dy}{dx}$

したがって、$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^y} = \frac{1}{x}$

よって、$\frac{d}{dx} \log x = \frac{1}{x}$

3. 最終的な答え

$e^x$ の1階微分: $e^x$

$\log x$ の1階微分: $\frac{1}{x}$