(1) 関数 $f(x) = -x^3 + 12x - 17$ の極大値を求める。 (2) 正の定数 $a, b$ に対して、関数 $f(x) = x^3 - 3a^2x + b$ の極大値と極小値を求める。

1. 問題の内容

(1) 関数 $f(x) = -x^3 + 12x - 17$ の極大値を求める。

(2) 正の定数 $a, b$ に対して、関数 $f(x) = x^3 - 3a^2x + b$ の極大値と極小値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 関数 $f(x) = -x^3 + 12x - 17$ の極大値を求める。

* $f'(x)$ を計算する。

$f'(x) = -3x^2 + 12$

* $f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$-3x^2 + 12 = 0$

$3x^2 = 12$

$x^2 = 4$

$x = \pm 2$

* $f''(x)$ を計算する。

$f''(x) = -6x$

* $x = 2$ のとき、$f''(2) = -6(2) = -12 < 0$ であるから、$x = 2$ で極大値をとる。

極大値は、$f(2) = -(2)^3 + 12(2) - 17 = -8 + 24 - 17 = -1$

(2) 関数 $f(x) = x^3 - 3a^2x + b$ の極大値と極小値を求める。

* $f'(x)$ を計算する。

$f'(x) = 3x^2 - 3a^2$

* $f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$3x^2 - 3a^2 = 0$

$3x^2 = 3a^2$

$x^2 = a^2$

$x = \pm a$

* $f''(x)$ を計算する。

$f''(x) = 6x$

* $x = a$ のとき、$f''(a) = 6a > 0$ であるから、$x = a$ で極小値をとる。

極小値は、$f(a) = a^3 - 3a^2(a) + b = a^3 - 3a^3 + b = -2a^3 + b$

* $x = -a$ のとき、$f''(-a) = -6a < 0$ であるから、$x = -a$ で極大値をとる。

極大値は、$f(-a) = (-a)^3 - 3a^2(-a) + b = -a^3 + 3a^3 + b = 2a^3 + b$

3. 最終的な答え

(1) 極大値: $-1$

(2) 極大値: $2a^3 + b$, 極小値: $-2a^3 + b$