曲線 $x = \sin\theta$, $y = -\cos2\theta$ (ただし $-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$) と $x$軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求めます。

1. 問題の内容

曲線 $x = \sin\theta$, $y = -\cos2\theta$ (ただし $-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$) と $x$軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$y$の式を2倍角の公式を用いて変形します。

$y = -\cos2\theta = -(1-2\sin^2\theta) = 2\sin^2\theta - 1$

$x = \sin\theta$ なので、$y = 2x^2 - 1$となります。

求める面積は、$S = \int_{a}^{b} |y| dx$ で計算できます。

ここで、$x$軸との交点を求めます。$y = 0$ となる $x$ を求めるので、

$2x^2 - 1 = 0$

$x^2 = \frac{1}{2}$

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\theta$ の範囲が $-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ なので、$x = \sin\theta$ の範囲は $-1 \leq x \leq 1$ となります。

したがって積分範囲は $-\frac{1}{\sqrt{2}} \leq x \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$ です。

また、この範囲では $y = 2x^2 - 1 \leq 0$ なので、$|y| = -y = 1 - 2x^2$となります。

したがって、求める面積は

$S = \int_{-\frac{1}{\sqrt{2}}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} (1-2x^2) dx$

$S = \left[ x - \frac{2}{3}x^3 \right]_{-\frac{1}{\sqrt{2}}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}}$

$S = \left( \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{2}{3} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^3 \right) - \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{2}{3} \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} \right)^3 \right)$

$S = \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2\sqrt{2}}$

$S = \frac{2}{\sqrt{2}} - \frac{2}{3\sqrt{2}} = \frac{6-2}{3\sqrt{2}} = \frac{4}{3\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{6} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{2\sqrt{2}}{3}$