$\int \frac{x}{\sqrt{x+1}} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

$\int \frac{x}{\sqrt{x+1}} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、置換積分を行います。

$u = x+1$ とおくと、$x = u-1$ となり、$du = dx$ です。

これらを積分に代入すると、

$\int \frac{x}{\sqrt{x+1}} dx = \int \frac{u-1}{\sqrt{u}} du = \int \frac{u}{\sqrt{u}} - \frac{1}{\sqrt{u}} du = \int (u^{1/2} - u^{-1/2}) du$

となります。

次に、それぞれの項を積分します。

$\int u^{1/2} du = \frac{2}{3}u^{3/2} + C_1$

$\int u^{-1/2} du = 2u^{1/2} + C_2$

したがって、

$\int (u^{1/2} - u^{-1/2}) du = \frac{2}{3}u^{3/2} - 2u^{1/2} + C$

ここで、$u = x+1$ を代入すると、

$\frac{2}{3}(x+1)^{3/2} - 2(x+1)^{1/2} + C$

となります。

これを整理すると、

$\frac{2}{3}(x+1)\sqrt{x+1} - 2\sqrt{x+1} + C = \frac{2}{3}(x+1-3)\sqrt{x+1} + C = \frac{2}{3}(x-2)\sqrt{x+1} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{3}(x-2)\sqrt{x+1} + C$