関数 $f(x) = xe^{-2x}$ ($x \ge 0$) の極値を求め、増減表を作成する。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = xe^{-2x}$ ($x \ge 0$) の極値を求め、増減表を作成する。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を微分します。積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。

$f(x) = xe^{-2x}$なので、

$f'(x) = (x)'e^{-2x} + x(e^{-2x})'$

$x$の微分は1なので、$(x)' = 1$です。

$e^{-2x}$の微分は、合成関数の微分を用いると、$(e^{-2x})' = -2e^{-2x}$となります。

したがって、

$f'(x) = e^{-2x} + x(-2e^{-2x})$

$f'(x) = e^{-2x} - 2xe^{-2x}$

$e^{-2x}$でくくると、

$f'(x) = (1-2x)e^{-2x}$

次に、$f'(x) = 0$となる$x$を求めます。

$(1-2x)e^{-2x} = 0$

$e^{-2x}$は常に正なので、$1-2x = 0$となる$x$を求めます。

$1 - 2x = 0$

$2x = 1$

$x = \frac{1}{2}$

次に、増減表を作成します。$x \ge 0$であることに注意します。

| x | 0 | ... | 1/2 | ... |

|---------|---------|----------|---------|----------|

| f'(x) | 1 | + | 0 | - |

| f(x) | 0 | 増加 | 極大値 | 減少 |

$x = 0$のとき、$f'(0) = (1-2*0)e^{-2*0} = 1 > 0$なので、$0 < x < \frac{1}{2}$のとき、$f'(x) > 0$となります。

$x > \frac{1}{2}$のとき、$f'(x) < 0$となります。

$x = \frac{1}{2}$のとき、$f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}e^{-2(\frac{1}{2})} = \frac{1}{2}e^{-1} = \frac{1}{2e}$

したがって、$x = \frac{1}{2}$のとき、極大値をとり、極大値は$\frac{1}{2e}$です。

$x=0$のとき、$f(0)=0$です。

3. 最終的な答え

$x = \frac{1}{2}$のとき極大値$\frac{1}{2e}$をとる。