関数 $f(\theta) = \sin 2\theta + 2(\sin \theta + \cos \theta) - 1$ を考える。ただし、$0 \le \theta < 2\pi$ とする。 (1) $t = \sin \theta + \cos \theta$ とおくとき、$f(\theta)$ を $t$ の式で表せ。 (2) $t$ のとりうる値の範囲を求めよ。 (3) $f(\theta)$ の最大値と最小値を求め、そのときの $\theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(\theta) = \sin 2\theta + 2(\sin \theta + \cos \theta) - 1$ を考える。ただし、$0 \le \theta < 2\pi$ とする。

(1) $t = \sin \theta + \cos \theta$ とおくとき、$f(\theta)$ を $t$ の式で表せ。

(2) $t$ のとりうる値の範囲を求めよ。

(3) $f(\theta)$ の最大値と最小値を求め、そのときの $\theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $t = \sin \theta + \cos \theta$ であるから、両辺を2乗すると、

$t^2 = (\sin \theta + \cos \theta)^2 = \sin^2 \theta + 2\sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = 1 + 2\sin \theta \cos \theta = 1 + \sin 2\theta$

よって、$\sin 2\theta = t^2 - 1$。

したがって、

$f(\theta) = \sin 2\theta + 2(\sin \theta + \cos \theta) - 1 = (t^2 - 1) + 2t - 1 = t^2 + 2t - 2$

(2) $t = \sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin \theta + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos \theta) = \sqrt{2}\sin(\theta + \frac{\pi}{4})$

$0 \le \theta < 2\pi$ より、$\frac{\pi}{4} \le \theta + \frac{\pi}{4} < \frac{9\pi}{4}$。

したがって、$-1 \le \sin(\theta + \frac{\pi}{4}) \le 1$。

よって、$-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$。

(3) $f(\theta) = t^2 + 2t - 2 = (t+1)^2 - 3$

$-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$ であるから、

$t = -1$ のとき、最小値 $f(\theta) = -3$ をとる。

このとき、$\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ であるから、$\theta + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$。

よって、$\theta = \pi, \frac{3\pi}{2}$。

$t = \sqrt{2}$ のとき、最大値 $f(\theta) = (\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2} - 2 = 2 + 2\sqrt{2} - 2 = 2\sqrt{2}$ をとる。

このとき、$\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) = 1$ であるから、$\theta + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}$。

よって、$\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}$。$\theta$ の範囲は $0 \le \theta < 2\pi$ であるから、$\theta = \frac{\pi}{4}$。

3. 最終的な答え

(1) $f(\theta) = t^2 + 2t - 2$

(2) $-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$

(3) $\theta = \pi, \frac{3\pi}{2}$ のとき最小値 $-3$

$\theta = \frac{\pi}{4}$ のとき最大値 $2\sqrt{2}$