関数 $f(x) = x^2 + 3x + 2$ について、区間 $[-1, 2]$ で平均値の定理を満たす定数 $c$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 + 3x + 2$ について、区間 $[-1, 2]$ で平均値の定理を満たす定数 $c$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$f(2)$ と $f(-1)$ を計算する。

$f(2) = 2^2 + 3(2) + 2 = 4 + 6 + 2 = 12$

$f(-1) = (-1)^2 + 3(-1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$

次に、$\frac{f(2) - f(-1)}{2 - (-1)}$ を計算する。

$\frac{f(2) - f(-1)}{2 - (-1)} = \frac{12 - 0}{2 - (-1)} = \frac{12}{3} = 4$

次に、$f'(x) = 2x + 3$ であるから、$f'(c) = 2c + 3$ を計算する。

平均値の定理より、$f'(c) = \frac{f(2) - f(-1)}{2 - (-1)}$ となる $c$ が区間 $(-1, 2)$ に存在する。

よって、$2c + 3 = 4$ を解く。

$2c = 4 - 3 = 1$

$c = \frac{1}{2}$

$c = \frac{1}{2}$ が区間 $(-1, 2)$ に含まれていることを確認する。$-1 < \frac{1}{2} < 2$ なので、条件を満たす。

3. 最終的な答え

$c = \frac{1}{2}$