$y = 2a\cos\theta + 2 - \sin^2\theta$ の $-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ における最大値を $a$ の式で表す。

1. 問題の内容

$y = 2a\cos\theta + 2 - \sin^2\theta$ の $-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ における最大値を $a$ の式で表す。

2. 解き方の手順

まず、$y$ の式を $\cos\theta$ で表すことを考える。$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$ を用いると、

$$y = 2a\cos\theta + 2 - (1 - \cos^2\theta) = \cos^2\theta + 2a\cos\theta + 1$$

ここで、$t = \cos\theta$ とおくと、$-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ より $0 \le \cos\theta \le 1$ なので、$0 \le t \le 1$。

$y$ は $t$ の関数として $y = t^2 + 2at + 1$ と表せる。この $t$ の範囲における $y$ の最大値を求める。

$y = t^2 + 2at + 1 = (t+a)^2 - a^2 + 1$ と平方完成できる。軸は $t = -a$ である。

(i) $-a < 0$ つまり $a > 0$ のとき：

$0 \le t \le 1$ の範囲で $y$ は単調増加なので、$t = 1$ で最大値をとる。

最大値は $y = 1^2 + 2a(1) + 1 = 2a + 2$。

(ii) $0 \le -a \le 1$ つまり $-1 \le a \le 0$ のとき：

$t = -a$ で最大値 $y = -a^2 + 1$ をとる。

(iii) $-a > 1$ つまり $a < -1$ のとき：

$0 \le t \le 1$ の範囲で $y$ は単調減少なので、$t = 0$ で最大値をとる。

最大値は $y = 0^2 + 2a(0) + 1 = 1$。

以上をまとめると、

$a < -1$ のとき、最大値は 1

$-1 \le a \le 0$ のとき、最大値は $-a^2+1$

$0 < a$ のとき、最大値は $2a+2$

3. 最終的な答え

$a < -1$ のとき、最大値は 1

$-1 \le a \le 0$ のとき、最大値は $-a^2+1$

$0 < a$ のとき、最大値は $2a+2$