$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、関数 $y = \sin^2\theta - \cos\theta + 1$ の最大値、最小値、およびそのときの $\theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、関数 $y = \sin^2\theta - \cos\theta + 1$ の最大値、最小値、およびそのときの $\theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、関数を $\cos\theta$ のみで表すために、$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$ を用いて変形します。

$y = (1 - \cos^2\theta) - \cos\theta + 1 = -\cos^2\theta - \cos\theta + 2$

次に、$t = \cos\theta$ とおきます。$0 \le \theta < 2\pi$ より、$-1 \le t \le 1$ です。

$y = -t^2 - t + 2 = -(t^2 + t) + 2 = -(t + \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4} + 2 = -(t + \frac{1}{2})^2 + \frac{9}{4}$

この式から、$y$ は $t = -\frac{1}{2}$ のとき最大値 $\frac{9}{4}$ をとることがわかります。このとき、$\cos\theta = -\frac{1}{2}$ なので、$\theta = \frac{2}{3}\pi, \frac{4}{3}\pi$。

また、$y$ は $t = 1$ のとき最小値をとります。

$t=1$ のとき、$y = -1^2 - 1 + 2 = 0$。このとき、$\cos\theta = 1$ なので、$\theta = 0$。

3. 最終的な答え

最大値：$\frac{9}{4}$ ($\theta = \frac{2}{3}\pi, \frac{4}{3}\pi$ のとき)

最小値：$0$ ($\theta = 0$ のとき)