関数 $f(x) = x^3 - 2x^2 - 3x + 4$ について、曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(-1, 4)$ における接線の方程式を $y = g(x)$ とするとき、以下の問いに答える。 (1) $g(x)$ を求めよ。 (2) 方程式 $f(x) = g(x)$ を解け。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 - 2x^2 - 3x + 4$ について、曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(-1, 4)$ における接線の方程式を $y = g(x)$ とするとき、以下の問いに答える。

(1) $g(x)$ を求めよ。

(2) 方程式 $f(x) = g(x)$ を解け。

2. 解き方の手順

(1) まず、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求める。

$f'(x) = 3x^2 - 4x - 3$

次に、点 $(-1, 4)$ における接線の傾きを求める。これは $f'(-1)$ である。

$f'(-1) = 3(-1)^2 - 4(-1) - 3 = 3 + 4 - 3 = 4$

したがって、接線の傾きは 4 である。

接線の方程式は、点 $(-1, 4)$ を通り傾きが 4 の直線であるから、

$y - 4 = 4(x - (-1))$

$y - 4 = 4(x + 1)$

$y = 4x + 4 + 4$

$y = 4x + 8$

したがって、$g(x) = 4x + 8$

(2) 方程式 $f(x) = g(x)$ を解く。

$f(x) = x^3 - 2x^2 - 3x + 4$

$g(x) = 4x + 8$

$x^3 - 2x^2 - 3x + 4 = 4x + 8$

$x^3 - 2x^2 - 7x - 4 = 0$

$x = -1$ が解の一つであることは、$f(-1) = 4 = g(-1)$ より分かる。

したがって、$(x + 1)$ を因数に持つ。

$x^3 - 2x^2 - 7x - 4 = (x + 1)(x^2 - 3x - 4) = (x + 1)(x - 4)(x + 1) = (x + 1)^2(x - 4)$

$(x + 1)^2(x - 4) = 0$

$x = -1$ (重解), $x = 4$

3. 最終的な答え

(1) $g(x) = 4x + 8$

(2) $x = -1, 4$