$\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta + 1 = 0$ を満たす$\theta$を求める。

1. 問題の内容

$\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta + 1 = 0$ を満たす$\theta$を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を三角関数の合成を用いて変形する。

$\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta$を $R \sin(\theta + \alpha)$の形に変換する。

$R = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$

$\cos \alpha = \frac{1}{2}$, $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $\alpha$ は $\alpha = \frac{\pi}{3}$

したがって、

$\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta = 2 \sin(\theta + \frac{\pi}{3})$

元の式は、

$2 \sin(\theta + \frac{\pi}{3}) + 1 = 0$

$\sin(\theta + \frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$

$\theta + \frac{\pi}{3} = x$ とおくと、$\sin x = -\frac{1}{2}$

この式を満たす $x$ は、

$x = \frac{7\pi}{6} + 2n\pi$ または $x = \frac{11\pi}{6} + 2n\pi$ (n は整数)

$\theta + \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{6} + 2n\pi$ のとき

$\theta = \frac{7\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + 2n\pi = \frac{7\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} + 2n\pi = \frac{5\pi}{6} + 2n\pi$

$\theta + \frac{\pi}{3} = \frac{11\pi}{6} + 2n\pi$ のとき

$\theta = \frac{11\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + 2n\pi = \frac{11\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} + 2n\pi = \frac{9\pi}{6} + 2n\pi = \frac{3\pi}{2} + 2n\pi$

3. 最終的な答え

$\theta = \frac{5\pi}{6} + 2n\pi$ または $\theta = \frac{3\pi}{2} + 2n\pi$ (n は整数)