$\cos(2\theta - \frac{\pi}{3}) < \frac{1}{\sqrt{2}}$ を満たす $\theta$ の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

$\cos(2\theta - \frac{\pi}{3}) < \frac{1}{\sqrt{2}}$ を満たす $\theta$ の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$t = 2\theta - \frac{\pi}{3}$ とおきます。

すると、$\cos(t) < \frac{1}{\sqrt{2}}$ となります。

$\cos(t) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ となる $t$ の値を求めます。$\cos(t) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ となるのは、$t = \pm \frac{\pi}{4} + 2n\pi$ （$n$は整数）のときです。

$\cos(t) < \frac{1}{\sqrt{2}}$ を満たす $t$ の範囲は、

$\frac{\pi}{4} + 2n\pi < t < \frac{7\pi}{4} + 2n\pi$ （$n$は整数）

です。

$t$ を $\theta$ に戻すと、

$\frac{\pi}{4} + 2n\pi < 2\theta - \frac{\pi}{3} < \frac{7\pi}{4} + 2n\pi$

となります。

各辺に $\frac{\pi}{3}$ を足すと、

$\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3} + 2n\pi < 2\theta < \frac{7\pi}{4} + \frac{\pi}{3} + 2n\pi$

$\frac{7\pi}{12} + 2n\pi < 2\theta < \frac{25\pi}{12} + 2n\pi$

各辺を2で割ると、

$\frac{7\pi}{24} + n\pi < \theta < \frac{25\pi}{24} + n\pi$

となります。

$\theta$ の範囲を $0 \leq \theta < 2\pi$ とすると、

$n=0$ のとき、$\frac{7\pi}{24} < \theta < \frac{25\pi}{24}$

$n=1$ のとき、$\frac{7\pi}{24} + \pi < \theta < \frac{25\pi}{24} + \pi$

$\frac{31\pi}{24} < \theta < \frac{49\pi}{24}$

したがって、$0 \leq \theta < 2\pi$ で考えると、

$\frac{7\pi}{24} < \theta < \frac{25\pi}{24}$ または $\frac{31\pi}{24} < \theta < \frac{49\pi}{24}$

$\frac{7\pi}{24} < \theta < \frac{25\pi}{24}$ または $\frac{31\pi}{24} < \theta < 2\pi$

3. 最終的な答え

$\frac{7\pi}{24} + n\pi < \theta < \frac{25\pi}{24} + n\pi$ （$n$は整数）

または

$\frac{7\pi}{24} < \theta < \frac{25\pi}{24}, \frac{31\pi}{24} < \theta < \frac{49\pi}{24}$

($0 \leq \theta < 2\pi$)