関数の定義域が $x \geq 0$ であり、導関数 $f'(x)$ が $f'(x) = 2x - \frac{4}{2\sqrt{x}}$ で与えられているとき、増減表を作成する問題です。

1. 問題の内容

関数の定義域が $x \geq 0$ であり、導関数 $f'(x)$ が $f'(x) = 2x - \frac{4}{2\sqrt{x}}$ で与えられているとき、増減表を作成する問題です。

2. 解き方の手順

まず、導関数 $f'(x)$ を簡略化します。

$f'(x) = 2x - \frac{2}{\sqrt{x}}$

$f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$2x = \frac{2}{\sqrt{x}}$

$x = \frac{1}{\sqrt{x}}$

$x\sqrt{x} = 1$

$x^{\frac{3}{2}} = 1$

$x = 1$

次に、$f'(x)$ の符号を調べます。定義域は $x \geq 0$ であり、$x=0$ では定義されません。

$0 < x < 1$ のとき、$x < \frac{1}{\sqrt{x}}$ より、$f'(x) < 0$ となります。

$x > 1$ のとき、$x > \frac{1}{\sqrt{x}}$ より、$f'(x) > 0$ となります。

増減表を作成します。

| x | 0 | ... | 1 | ... |

|-------|--------|---------|--------|---------|

| f'(x) | 定義されない | - | 0 | + |

| f(x) | | 減少 | 極小 | 増加 |

3. 最終的な答え

$x=1$ で極小値をとり、$0<x<1$ で減少、$x>1$ で増加する。

（具体的な関数$f(x)$が与えられていないため、$f(1)$の値を計算することはできません。）