$\lim_{x\to -1} \frac{f(x)}{(x+1)^2} = -1$のとき、$f(x)=(x+1)g(x)$ かつ $g(x)$ は $(x+1)$ を因数にもたない関数であると仮定すると、なぜ矛盾が生じるのかを説明する問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x\to -1} \frac{f(x)}{(x+1)^2} = -1$のとき、$f(x)=(x+1)g(x)$ かつ $g(x)$ は $(x+1)$ を因数にもたない関数であると仮定すると、なぜ矛盾が生じるのかを説明する問題です。

2. 解き方の手順

$\lim_{x\to -1} \frac{f(x)}{(x+1)^2} = -1$であるとき、$f(x)$を$(x+1)g(x)$と表すと、

$\lim_{x\to -1} \frac{(x+1)g(x)}{(x+1)^2} = \lim_{x\to -1} \frac{g(x)}{x+1} = -1$

となります。

ここで、$g(x)$が$x = -1$で有限の値を持つと仮定すると、つまり、$g(x)$が$(x+1)$を因数に持たないと仮定すると、$\lim_{x\to -1} g(x)$は有限な値$g(-1)$を持ちます。

すると、$\lim_{x\to -1} \frac{g(x)}{x+1}$は$\frac{g(-1)}{0}$の形になり、この極限が存在するためには、$g(-1) = 0$である必要があります。

しかし、$g(-1) = 0$であるならば、$g(x)$は$(x+1)$を因数に持つことになり、$g(x)$が$(x+1)$を因数に持たないという仮定と矛盾します。

したがって、$g(x)$が$(x+1)$を因数に持たないという仮定の下では、$\lim_{x\to -1} \frac{g(x)}{x+1} = -1$を満たすことができません。

言い換えると、$f(x)=(x+1)g(x)$と表し、$g(x)$が$(x+1)$を因数に持たないとすると、$\lim_{x\to -1} \frac{f(x)}{(x+1)^2} = -1$という条件を満たすことができないため、矛盾が生じます。

3. 最終的な答え

$\lim_{x\to -1} \frac{f(x)}{(x+1)^2} = -1$を満たすためには、$f(x) = (x+1)g(x)$としたとき、$g(x)$は$x=-1$で発散する必要があり、そのためには$g(x)$は$(x+1)$を因数に持たないという仮定に矛盾するため、題意は成り立ちません。具体的には、$f(x)$は$(x+1)^2$を因数として持つ必要があります。$g(x)$が$(x+1)$を因数に持たない場合、$\lim_{x\to -1} \frac{g(x)}{x+1} = -1$を満たせません。