与えられた式 $\cos(\sin^{-1}x) = \sqrt{1-x^2}$ が正しいことを示す。

1. 問題の内容

与えられた式 $\cos(\sin^{-1}x) = \sqrt{1-x^2}$ が正しいことを示す。

2. 解き方の手順

$\sin^{-1}x = \theta$ とおくと、$\sin \theta = x$ となる。ここで、$-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ である。

このとき、$\cos(\sin^{-1}x) = \cos \theta$ である。

三角関数の恒等式 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より、$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ である。したがって、$\cos \theta = \pm \sqrt{1 - \sin^2 \theta}$ となる。

$\sin \theta = x$ を代入すると、$\cos \theta = \pm \sqrt{1 - x^2}$ となる。

ここで、$-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ より、$\cos \theta \ge 0$ である。よって、$\cos \theta = \sqrt{1 - x^2}$ となる。

したがって、$\cos(\sin^{-1}x) = \sqrt{1 - x^2}$ である。

3. 最終的な答え

$\cos(\sin^{-1}x) = \sqrt{1-x^2}$