数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とする。$S_n = \frac{1}{3} a_n - n$ ($n = 1, 2, 3, ...$) であるとき、$\lim_{n \to \infty} a_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とする。$S_n = \frac{1}{3} a_n - n$ ($n = 1, 2, 3, ...$) であるとき、$\lim_{n \to \infty} a_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

$S_n = \frac{1}{3} a_n - n$ であるから、

$n \ge 2$ のとき、$S_{n-1} = \frac{1}{3} a_{n-1} - (n-1)$ である。

$a_n = S_n - S_{n-1}$ であるから、

$a_n = (\frac{1}{3} a_n - n) - (\frac{1}{3} a_{n-1} - (n-1))$

$a_n = \frac{1}{3} a_n - n - \frac{1}{3} a_{n-1} + n - 1$

$a_n = \frac{1}{3} a_n - \frac{1}{3} a_{n-1} - 1$

$\frac{2}{3} a_n = -\frac{1}{3} a_{n-1} - 1$

$2 a_n = -a_{n-1} - 3$

$2 a_n + a_{n-1} = -3$

特性方程式 $2x + x = -3$ より、$x=-1$。

$2 a_n + a_{n-1} = -3$

$2 (-1) + (-1) = -3$

$a_n + 1 = - \frac{1}{2} (a_{n-1} + 1)$

数列 $\{a_n + 1\}$ は、初項 $a_1 + 1$、公比 $-\frac{1}{2}$ の等比数列である。

$S_1 = a_1 = \frac{1}{3} a_1 - 1$ より、$\frac{2}{3} a_1 = -1$ なので、$a_1 = -\frac{3}{2}$ である。

よって、$a_1 + 1 = -\frac{3}{2} + 1 = -\frac{1}{2}$

したがって、$a_n + 1 = (-\frac{1}{2})^n$

$a_n = (-\frac{1}{2})^n - 1$

$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} ((-\frac{1}{2})^n - 1)$

$\lim_{n \to \infty} (-\frac{1}{2})^n = 0$ であるから、$\lim_{n \to \infty} a_n = 0 - 1 = -1$

3. 最終的な答え

-1