数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 2$, $a_{n+1} = 3a_n + 2^{n+1}$ ($n = 1, 2, \dots$) で定義されているとき、極限 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{3^n}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 2$, $a_{n+1} = 3a_n + 2^{n+1}$ ($n = 1, 2, \dots$) で定義されているとき、極限 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{3^n}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$a_{n+1} = 3a_n + 2^{n+1}$ の両辺を $3^{n+1}$ で割ります。

$$\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}} = \frac{3a_n}{3^{n+1}} + \frac{2^{n+1}}{3^{n+1}} = \frac{a_n}{3^n} + \left(\frac{2}{3}\right)^{n+1}$$

ここで、$b_n = \frac{a_n}{3^n}$ とおくと、$b_{n+1} = b_n + \left(\frac{2}{3}\right)^{n+1}$ となります。

この漸化式から、$b_n$ の一般項を求めます。

$$b_n = b_1 + \sum_{k=2}^{n} \left(\frac{2}{3}\right)^k$$

$b_1 = \frac{a_1}{3^1} = \frac{2}{3}$ であるから、

$$b_n = \frac{2}{3} + \sum_{k=2}^{n} \left(\frac{2}{3}\right)^k = \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{2}{3}\right)^k$$

これは初項 $\frac{2}{3}$、公比 $\frac{2}{3}$ の等比数列の和なので、

$$b_n = \frac{\frac{2}{3}\left(1 - \left(\frac{2}{3}\right)^n\right)}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{\frac{2}{3}\left(1 - \left(\frac{2}{3}\right)^n\right)}{\frac{1}{3}} = 2\left(1 - \left(\frac{2}{3}\right)^n\right)$$

したがって、$b_n = 2 - 2\left(\frac{2}{3}\right)^n$ となります。

$\lim_{n \to \infty} b_n = \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{3^n}$ を求めるので、

$$\lim_{n \to \infty} b_n = \lim_{n \to \infty} \left(2 - 2\left(\frac{2}{3}\right)^n\right) = 2 - 2\lim_{n \to \infty} \left(\frac{2}{3}\right)^n$$

$\frac{2}{3} < 1$ であるから、$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{2}{3}\right)^n = 0$ となります。

よって、

$$\lim_{n \to \infty} b_n = 2 - 2 \cdot 0 = 2$$

3. 最終的な答え

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