与えられた無限級数 $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2} \left(-\frac{1}{2}\right)^{k-1}$ の収束または発散を調べ、収束する場合はその値を求める。

1. 問題の内容

与えられた無限級数 $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2} \left(-\frac{1}{2}\right)^{k-1}$ の収束または発散を調べ、収束する場合はその値を求める。

2. 解き方の手順

この無限級数は、初項 $a = \frac{1}{2}$、公比 $r = -\frac{1}{2}$ の等比級数である。

等比級数 $\sum_{k=1}^{\infty} a r^{k-1}$ は、 $|r| < 1$ のとき収束し、その和は $\frac{a}{1-r}$ である。

ここでは、 $|r| = |-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2} < 1$ であるから、与えられた無限級数は収束する。

その和は、

$\frac{a}{1-r} = \frac{\frac{1}{2}}{1 - (-\frac{1}{2})} = \frac{\frac{1}{2}}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

与えられた無限級数は収束し、その値は $\frac{1}{3}$ である。