2変数関数 $f(x, y) = x^3 - 3axy + y^3$ ($a > 0$) の極値をすべて求める問題です。極大値か極小値かも示す必要があります。

1. 問題の内容

2変数関数 $f(x, y) = x^3 - 3axy + y^3$ ($a > 0$) の極値をすべて求める問題です。極大値か極小値かも示す必要があります。

2. 解き方の手順

(1) 偏導関数を求めます。

$f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 - 3ay$

$f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = -3ax + 3y^2$

(2) 連立方程式 $f_x = 0$ かつ $f_y = 0$ を解きます。

$3x^2 - 3ay = 0$ より $x^2 = ay$

$-3ax + 3y^2 = 0$ より $y^2 = ax$

$x^2 = ay$ を $y$ について解くと、$y = \frac{x^2}{a}$ となります。

これを $y^2 = ax$ に代入すると、

$(\frac{x^2}{a})^2 = ax$

$\frac{x^4}{a^2} = ax$

$x^4 = a^3 x$

$x^4 - a^3 x = 0$

$x(x^3 - a^3) = 0$

したがって、$x = 0$ または $x^3 = a^3$ となり、$x = 0$ または $x = a$ です。

$x = 0$ のとき、$y = \frac{0^2}{a} = 0$。

$x = a$ のとき、$y = \frac{a^2}{a} = a$。

したがって、停留点は $(0, 0)$ と $(a, a)$ です。

(3) 2階偏導関数を求めます。

$f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 6x$

$f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 6y$

$f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = -3a$

(4) ヘッセ行列式 $D = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2$ を求めます。

$D(x, y) = (6x)(6y) - (-3a)^2 = 36xy - 9a^2$

(5) 各停留点におけるヘッセ行列式を評価します。

$(0, 0)$ のとき、$D(0, 0) = 36(0)(0) - 9a^2 = -9a^2 < 0$

したがって、$(0, 0)$ は鞍点であり、極値を持ちません。

$(a, a)$ のとき、$D(a, a) = 36(a)(a) - 9a^2 = 36a^2 - 9a^2 = 27a^2 > 0$

$f_{xx}(a, a) = 6a > 0$

したがって、$(a, a)$ は極小値を取ります。

極小値は $f(a, a) = a^3 - 3a(a)(a) + a^3 = a^3 - 3a^3 + a^3 = -a^3$ です。

3. 最終的な答え

極小値：$f(a, a) = -a^3$

鞍点：$(0, 0)$