2変数関数 $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$ の極値をすべて求め、極大値か極小値かを判別してください。

1. 問題の内容

2変数関数 $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$ の極値をすべて求め、極大値か極小値かを判別してください。

2. 解き方の手順

(1) 偏微分を計算する。

$f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 - 3y$

$f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = 3y^2 - 3x$

(2) 連立方程式 $f_x = 0$ および $f_y = 0$ を解き、停留点を求める。

$3x^2 - 3y = 0 \Rightarrow y = x^2$

$3y^2 - 3x = 0 \Rightarrow x = y^2$

$y = x^2$ を $x = y^2$ に代入すると、

$x = (x^2)^2 = x^4$

$x^4 - x = 0$

$x(x^3 - 1) = 0$

$x = 0$ または $x = 1$

$x = 0$ のとき $y = 0^2 = 0$

$x = 1$ のとき $y = 1^2 = 1$

したがって、停留点は $(0, 0)$ と $(1, 1)$ である。

(3) 2階偏微分を計算する。

$f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 6x$

$f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 6y$

$f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = -3$

(4) ヘッセ行列式 $D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2$ を計算する。

$D = (6x)(6y) - (-3)^2 = 36xy - 9$

(5) 各停留点におけるヘッセ行列式 $D$ の値を計算し、極値を判定する。

(i) $(0, 0)$ のとき

$D = 36(0)(0) - 9 = -9 < 0$

したがって、$(0, 0)$ は鞍点であり、極値ではない。

(ii) $(1, 1)$ のとき

$D = 36(1)(1) - 9 = 27 > 0$

$f_{xx}(1, 1) = 6(1) = 6 > 0$

したがって、$(1, 1)$ は極小値であり、$f(1, 1) = 1^3 + 1^3 - 3(1)(1) = 1 + 1 - 3 = -1$ である。

3. 最終的な答え

関数 $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$ は、点 $(1, 1)$ で極小値 $-1$ をとる。また、点 $(0,0)$ は鞍点である。