2変数関数 $f(x,y) = \log(1+x+y)$ を、点 $(0,0)$ のまわりで2次の項までテイラー展開してください。

1. 問題の内容

2変数関数 $f(x,y) = \log(1+x+y)$ を、点 $(0,0)$ のまわりで2次の項までテイラー展開してください。

2. 解き方の手順

2変数関数のテイラー展開は以下のようになります。

$f(x,y) = f(0,0) + f_x(0,0)x + f_y(0,0)y + \frac{1}{2}(f_{xx}(0,0)x^2 + 2f_{xy}(0,0)xy + f_{yy}(0,0)y^2) + ...$

ここで、$f_x$, $f_y$ はそれぞれ $f$ の $x$, $y$ に関する偏微分を表し、$f_{xx}$, $f_{xy}$, $f_{yy}$ は2階の偏微分を表します。

まず、$f(x,y)$ の偏微分を計算します。

$f(x,y) = \log(1+x+y)$

$f_x(x,y) = \frac{1}{1+x+y}$

$f_y(x,y) = \frac{1}{1+x+y}$

$f_{xx}(x,y) = -\frac{1}{(1+x+y)^2}$

$f_{xy}(x,y) = -\frac{1}{(1+x+y)^2}$

$f_{yy}(x,y) = -\frac{1}{(1+x+y)^2}$

次に、これらの偏微分を $(0,0)$ で評価します。

$f(0,0) = \log(1) = 0$

$f_x(0,0) = 1$

$f_y(0,0) = 1$

$f_{xx}(0,0) = -1$

$f_{xy}(0,0) = -1$

$f_{yy}(0,0) = -1$

これらの値をテイラー展開の式に代入します。

$f(x,y) \approx 0 + 1 \cdot x + 1 \cdot y + \frac{1}{2}(-1 \cdot x^2 + 2(-1) \cdot xy + (-1) \cdot y^2)$

$f(x,y) \approx x + y - \frac{1}{2}(x^2 + 2xy + y^2)$

$f(x,y) \approx x + y - \frac{1}{2}(x+y)^2$

3. 最終的な答え

$x + y - \frac{1}{2}(x+y)^2$