2変数関数 $f(x,y) = x^2 - 2xy + y^2$ について、$x=0, y=0$ における2次の項までのテイラー展開を求めます。

1. 問題の内容

2変数関数 $f(x,y) = x^2 - 2xy + y^2$ について、$x=0, y=0$ における2次の項までのテイラー展開を求めます。

2. 解き方の手順

2変数関数 $f(x,y)$ の点 $(a, b)$ における2次の項までのテイラー展開は次の式で与えられます。

$f(x, y) \approx f(a, b) + f_x(a, b)(x-a) + f_y(a, b)(y-b) + \frac{1}{2}f_{xx}(a, b)(x-a)^2 + f_{xy}(a, b)(x-a)(y-b) + \frac{1}{2}f_{yy}(a, b)(y-b)^2$

ここで、$f_x$, $f_y$ はそれぞれ $x$, $y$ に関する偏微分、$f_{xx}$, $f_{xy}$, $f_{yy}$ は2階の偏微分を表します。 今回は $(a, b) = (0, 0)$ なので、式は次のようになります。

$f(x, y) \approx f(0, 0) + f_x(0, 0)x + f_y(0, 0)y + \frac{1}{2}f_{xx}(0, 0)x^2 + f_{xy}(0, 0)xy + \frac{1}{2}f_{yy}(0, 0)y^2$

まず、$f(x, y) = x^2 - 2xy + y^2$ の偏微分を計算します。

$f_x(x, y) = 2x - 2y$

$f_y(x, y) = -2x + 2y$

$f_{xx}(x, y) = 2$

$f_{xy}(x, y) = -2$

$f_{yy}(x, y) = 2$

次に、これらの偏微分に $(x, y) = (0, 0)$ を代入します。

$f(0, 0) = 0^2 - 2(0)(0) + 0^2 = 0$

$f_x(0, 0) = 2(0) - 2(0) = 0$

$f_y(0, 0) = -2(0) + 2(0) = 0$

$f_{xx}(0, 0) = 2$

$f_{xy}(0, 0) = -2$

$f_{yy}(0, 0) = 2$

これらの値をテイラー展開の式に代入します。

$f(x, y) \approx 0 + 0x + 0y + \frac{1}{2}(2)x^2 + (-2)xy + \frac{1}{2}(2)y^2$

$f(x, y) \approx x^2 - 2xy + y^2$

3. 最終的な答え

$x^2 - 2xy + y^2$