2変数関数 $f(x, y) = e^{x+y}$ を、点 $(x, y) = (0, 0)$ において3次の項までテイラー展開する。

1. 問題の内容

2変数関数 $f(x, y) = e^{x+y}$ を、点 $(x, y) = (0, 0)$ において3次の項までテイラー展開する。

2. 解き方の手順

テイラー展開の公式は以下の通りです。

$f(x,y) = f(0,0) + f_x(0,0)x + f_y(0,0)y + \frac{1}{2!}(f_{xx}(0,0)x^2 + 2f_{xy}(0,0)xy + f_{yy}(0,0)y^2) + \frac{1}{3!}(f_{xxx}(0,0)x^3 + 3f_{xxy}(0,0)x^2y + 3f_{xyy}(0,0)xy^2 + f_{yyy}(0,0)y^3) + \dots$

ここで、$f_x$, $f_y$などは偏微分を表します。

まず、$f(x, y) = e^{x+y}$ の偏微分を求めます。

$f_x(x, y) = e^{x+y}$

$f_y(x, y) = e^{x+y}$

$f_{xx}(x, y) = e^{x+y}$

$f_{xy}(x, y) = e^{x+y}$

$f_{yy}(x, y) = e^{x+y}$

$f_{xxx}(x, y) = e^{x+y}$

$f_{xxy}(x, y) = e^{x+y}$

$f_{xyy}(x, y) = e^{x+y}$

$f_{yyy}(x, y) = e^{x+y}$

次に、これらの偏微分を $(0, 0)$ で評価します。

$f(0, 0) = e^{0+0} = 1$

$f_x(0, 0) = e^{0+0} = 1$

$f_y(0, 0) = e^{0+0} = 1$

$f_{xx}(0, 0) = e^{0+0} = 1$

$f_{xy}(0, 0) = e^{0+0} = 1$

$f_{yy}(0, 0) = e^{0+0} = 1$

$f_{xxx}(0, 0) = e^{0+0} = 1$

$f_{xxy}(0, 0) = e^{0+0} = 1$

$f_{xyy}(0, 0) = e^{0+0} = 1$

$f_{yyy}(0, 0) = e^{0+0} = 1$

これらの値をテイラー展開の公式に代入します。3次の項までなので、4次以上の項は無視します。

$f(x,y) = 1 + x + y + \frac{1}{2}(x^2 + 2xy + y^2) + \frac{1}{6}(x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3)$

$f(x,y) = 1 + x + y + \frac{1}{2}x^2 + xy + \frac{1}{2}y^2 + \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{2}x^2y + \frac{1}{2}xy^2 + \frac{1}{6}y^3$

3. 最終的な答え

$f(x,y) \approx 1 + x + y + \frac{1}{2}x^2 + xy + \frac{1}{2}y^2 + \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{2}x^2y + \frac{1}{2}xy^2 + \frac{1}{6}y^3$