(1) $x^2 - y^2 = a^2$ のとき、$\frac{d^2y}{dx^2}$ を $x$ と $y$ を用いて表せ。 (2) $x$ の関数 $y$ が媒介変数 $\theta$ を用いて $x = 1 - \cos\theta$, $y = \theta - \sin\theta$ と表されているとき、$\frac{dy}{dx}$ と $\frac{d^2y}{dx^2}$ をそれぞれ $\theta$ で表せ。

1. 問題の内容

(1) $x^2 - y^2 = a^2$ のとき、$\frac{d^2y}{dx^2}$ を $x$ と $y$ を用いて表せ。

(2) $x$ の関数 $y$ が媒介変数 $\theta$ を用いて $x = 1 - \cos\theta$, $y = \theta - \sin\theta$ と表されているとき、$\frac{dy}{dx}$ と $\frac{d^2y}{dx^2}$ をそれぞれ $\theta$ で表せ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$x^2 - y^2 = a^2$ を $x$ で微分します。

$2x - 2y\frac{dy}{dx} = 0$

$\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}$

次に、$\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}$ を $x$ で微分します。

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} (\frac{x}{y}) = \frac{y - x\frac{dy}{dx}}{y^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}$ を代入すると、

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{y - x(\frac{x}{y})}{y^2} = \frac{y^2 - x^2}{y^3} = \frac{-(x^2 - y^2)}{y^3}$

$x^2 - y^2 = a^2$ を代入すると、

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{-a^2}{y^3}$

(2)

まず、$\frac{dy}{d\theta}$ と $\frac{dx}{d\theta}$ を計算します。

$x = 1 - \cos\theta$ より、

$\frac{dx}{d\theta} = \sin\theta$

$y = \theta - \sin\theta$ より、

$\frac{dy}{d\theta} = 1 - \cos\theta$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}} = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta}$

次に、$\frac{d^2y}{dx^2}$ を計算します。

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} (\frac{dy}{dx}) = \frac{d}{d\theta} (\frac{dy}{dx}) \cdot \frac{d\theta}{dx} = \frac{\frac{d}{d\theta} (\frac{dy}{dx})}{\frac{dx}{d\theta}}$

$\frac{d}{d\theta} (\frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta}) = \frac{\sin\theta(\sin\theta) - (1 - \cos\theta)(\cos\theta)}{\sin^2\theta} = \frac{\sin^2\theta - \cos\theta + \cos^2\theta}{\sin^2\theta} = \frac{1 - \cos\theta}{\sin^2\theta}$

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\frac{1 - \cos\theta}{\sin^2\theta}}{\sin\theta} = \frac{1 - \cos\theta}{\sin^3\theta}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{a^2}{y^3}$

(2) $\frac{dy}{dx} = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta}$

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1 - \cos\theta}{\sin^3\theta}$