曲線 $y = e^x + e^{-x}$ と直線 $x = 1$, および $x$軸, $y$軸で囲まれた図形を$x$軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ。体積は $\frac{\pi}{[]}(e^2 + [] - e^{-2})$ の形で与えられている。

1. 問題の内容

曲線 $y = e^x + e^{-x}$ と直線 $x = 1$, および $x$軸, $y$軸で囲まれた図形を$x$軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ。体積は $\frac{\pi}{[]}(e^2 + [] - e^{-2})$ の形で与えられている。

2. 解き方の手順

回転体の体積 $V$ は、積分を用いて以下のように計算できます。

$V = \pi \int_{a}^{b} y^2 dx$

この問題では、$y = e^x + e^{-x}$, $a = 0$, $b = 1$ です。したがって、

$V = \pi \int_{0}^{1} (e^x + e^{-x})^2 dx = \pi \int_{0}^{1} (e^{2x} + 2 + e^{-2x}) dx$

積分を実行します。

$\int (e^{2x} + 2 + e^{-2x}) dx = \frac{1}{2}e^{2x} + 2x - \frac{1}{2}e^{-2x} + C$

したがって、

$V = \pi \left[ \frac{1}{2}e^{2x} + 2x - \frac{1}{2}e^{-2x} \right]_{0}^{1} = \pi \left[ (\frac{1}{2}e^2 + 2 - \frac{1}{2}e^{-2}) - (\frac{1}{2} + 0 - \frac{1}{2}) \right]$

$V = \pi \left( \frac{1}{2}e^2 + 2 - \frac{1}{2}e^{-2} \right) = \frac{\pi}{2} (e^2 + 4 - e^{-2})$

したがって、$V = \frac{\pi}{2}(e^2 + 4 - e^{-2})$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{2} (e^2 + 4 - e^{-2})$なので、空欄にはそれぞれ2と4が入る。

したがって、立体の体積は$\frac{\pi}{2}(e^2 + 4 - e^{-2})$である。

$\frac{\pi}{2}(e^2 + 4 - e^{-2})$.

第一の空欄は2。第二の空欄は4。