2変数関数 $f(x,y) = e^{x+2y}$ を、点 $(0,0)$ の周りで2次の項までテイラー展開せよ。

1. 問題の内容

2変数関数 $f(x,y) = e^{x+2y}$ を、点 $(0,0)$ の周りで2次の項までテイラー展開せよ。

2. 解き方の手順

テイラー展開の公式は次のとおりです。

$f(x,y) \approx f(0,0) + f_x(0,0)x + f_y(0,0)y + \frac{1}{2}f_{xx}(0,0)x^2 + f_{xy}(0,0)xy + \frac{1}{2}f_{yy}(0,0)y^2$

ここで、$f_x$ は $x$ に関する偏微分、$f_y$ は $y$ に関する偏微分、$f_{xx}$ は $x$ に関する2階偏微分、$f_{yy}$ は $y$ に関する2階偏微分、$f_{xy}$ は $x$ と $y$ に関する2階偏微分です。

まず、関数 $f(x,y)$ の偏微分を計算します。

$f(x,y) = e^{x+2y}$

$f_x(x,y) = e^{x+2y}$

$f_y(x,y) = 2e^{x+2y}$

$f_{xx}(x,y) = e^{x+2y}$

$f_{xy}(x,y) = 2e^{x+2y}$

$f_{yy}(x,y) = 4e^{x+2y}$

次に、これらの偏微分を点 $(0,0)$ で評価します。

$f(0,0) = e^{0+2(0)} = e^0 = 1$

$f_x(0,0) = e^{0+2(0)} = e^0 = 1$

$f_y(0,0) = 2e^{0+2(0)} = 2e^0 = 2$

$f_{xx}(0,0) = e^{0+2(0)} = e^0 = 1$

$f_{xy}(0,0) = 2e^{0+2(0)} = 2e^0 = 2$

$f_{yy}(0,0) = 4e^{0+2(0)} = 4e^0 = 4$

これらの値をテイラー展開の公式に代入します。

$f(x,y) \approx 1 + 1x + 2y + \frac{1}{2}(1)x^2 + 2xy + \frac{1}{2}(4)y^2$

$f(x,y) \approx 1 + x + 2y + \frac{1}{2}x^2 + 2xy + 2y^2$

3. 最終的な答え

$1 + x + 2y + \frac{1}{2}x^2 + 2xy + 2y^2$