曲線 $x = 2t - \sin 2t$, $y = 1 + \cos 2t$ ($0 \le t \le \pi$) の長さを求めよ。

1. 問題の内容

曲線 $x = 2t - \sin 2t$, $y = 1 + \cos 2t$ ($0 \le t \le \pi$) の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

曲線 $x = f(t)$, $y = g(t)$ ($a \le t \le b$) の長さ $L$ は、以下の式で求められます。

$L = \int_a^b \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} dt$

まず、$\frac{dx}{dt}$ と $\frac{dy}{dt}$ を計算します。

$\frac{dx}{dt} = 2 - 2\cos 2t$

$\frac{dy}{dt} = -2\sin 2t$

次に、$(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2$ を計算します。

$(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2 = (2 - 2\cos 2t)^2 + (-2\sin 2t)^2$

$= 4 - 8\cos 2t + 4\cos^2 2t + 4\sin^2 2t$

$= 4 - 8\cos 2t + 4(\cos^2 2t + \sin^2 2t)$

$= 4 - 8\cos 2t + 4$

$= 8 - 8\cos 2t$

$= 8(1 - \cos 2t)$

ここで、$1 - \cos 2t = 2\sin^2 t$ であることを利用すると、

$8(1 - \cos 2t) = 8(2\sin^2 t) = 16\sin^2 t$

したがって、

$\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} = \sqrt{16\sin^2 t} = 4|\sin t|$

区間 $0 \le t \le \pi$ において、$\sin t \ge 0$ であるから、 $|\sin t| = \sin t$ となり、

$\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} = 4\sin t$

よって、曲線の長さ $L$ は、

$L = \int_0^\pi 4\sin t dt = 4\int_0^\pi \sin t dt = 4[-\cos t]_0^\pi = 4(-\cos \pi + \cos 0) = 4(-(-1) + 1) = 4(1 + 1) = 4(2) = 8$

3. 最終的な答え

8