$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲において、$\sqrt{3}\sin 2\theta + \cos 2\theta + 1 = \frac{8}{3} \cos \theta$ を満たす $\theta$ について考える。2倍角の公式、三角関数の合成を利用して、$\theta$ の値を求め、大小関係を比較する。

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲において、$\sqrt{3}\sin 2\theta + \cos 2\theta + 1 = \frac{8}{3} \cos \theta$ を満たす $\theta$ について考える。2倍角の公式、三角関数の合成を利用して、$\theta$ の値を求め、大小関係を比較する。

2. 解き方の手順

(1) 2倍角の公式より、$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$、$\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$

与えられた式は、

$\sqrt{3}(2\sin \theta \cos \theta) + (2\cos^2 \theta - 1) + 1 = \frac{8}{3} \cos \theta$

$2\sqrt{3} \sin \theta \cos \theta + 2\cos^2 \theta = \frac{8}{3} \cos \theta$

$2\cos \theta(\sqrt{3} \sin \theta + \cos \theta) = \frac{8}{3} \cos \theta$

$\cos \theta(\sqrt{3} \sin \theta + \cos \theta - \frac{4}{3}) = 0$

よって、$\cos \theta = 0$ または $\sqrt{3} \sin \theta + \cos \theta = \frac{4}{3}$

(2) $0 \le \theta < 2\pi$ の範囲において、$\cos \theta = 0$ を満たす $\theta$ は、$\alpha_1 = \frac{\pi}{2}$、$\alpha_2 = \frac{3\pi}{2}$

(3) 三角関数の合成より、$\sqrt{3} \sin \theta + \cos \theta = 2 \sin(\theta + \frac{\pi}{6})$

$\sqrt{3} \sin \theta + \cos \theta = \frac{4}{3}$ より、

$2 \sin(\theta + \frac{\pi}{6}) = \frac{4}{3}$

$\sin(\theta + \frac{\pi}{6}) = \frac{2}{3}$

(4) $0 \le \theta < 2\pi$ の範囲において、$\sin(\theta + \frac{\pi}{6}) = \frac{2}{3}$ を満たす $\theta$ は二つあり、それらを小さい順に $\beta_1, \beta_2$ とする。

$\beta_1 + \beta_2 + \frac{\pi}{3} = \pi$ なので、$\beta_1 + \beta_2 = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2}{3}\pi$

(5) $\sin(\theta + \frac{\pi}{6}) = \frac{2}{3}$ より、$\theta + \frac{\pi}{6} = \arcsin(\frac{2}{3}), \pi - \arcsin(\frac{2}{3})$

$\beta_1 = \arcsin(\frac{2}{3}) - \frac{\pi}{6}, \beta_2 = \pi - \arcsin(\frac{2}{3}) - \frac{\pi}{6}$

$\arcsin(\frac{2}{3}) \approx 0.73$

$\beta_1 \approx 0.73 - \frac{\pi}{6} \approx 0.73 - 0.52 \approx 0.21$

$\beta_2 \approx \pi - 0.73 - \frac{\pi}{6} \approx 3.14 - 0.73 - 0.52 \approx 1.89$

(6) $\alpha_1 = \frac{\pi}{2} \approx 1.57, \alpha_2 = \frac{3\pi}{2} \approx 4.71$

$\beta_1 < \alpha_1 < \beta_2 < \alpha_2$

3. 最終的な答え

ア: 2

イ: 2

ウ: 1

エ: 4

オ: 3

カ: 2

キ: 3

ク: 2

ケ: 2

コ: 6

サ: 2

シ: 3

ス: 2

セ: 3

ソ: 3