(1) $\int \frac{\cos x}{\sin x(\sin x + 1)} dx$ (4) $\int \frac{1}{1-\sin x} dx$

1. 問題の内容

(1) $\int \frac{\cos x}{\sin x(\sin x + 1)} dx$

(4) $\int \frac{1}{1-\sin x} dx$

2. 解き方の手順

(1)

$u = \sin x$ と置換すると、$\frac{du}{dx} = \cos x$ より $du = \cos x dx$となる。

したがって、

$\int \frac{\cos x}{\sin x(\sin x + 1)} dx = \int \frac{1}{u(u+1)} du$

ここで、部分分数分解を行う。

$\frac{1}{u(u+1)} = \frac{A}{u} + \frac{B}{u+1}$

$1 = A(u+1) + Bu$

$1 = (A+B)u + A$

$A = 1$, $A+B = 0$ より $B = -1$

$\frac{1}{u(u+1)} = \frac{1}{u} - \frac{1}{u+1}$

$\int \frac{1}{u(u+1)} du = \int \left(\frac{1}{u} - \frac{1}{u+1}\right) du = \ln |u| - \ln |u+1| + C$

$=\ln |\sin x| - \ln |\sin x + 1| + C$

$=\ln \left| \frac{\sin x}{\sin x + 1} \right| + C$

(4)

$\int \frac{1}{1-\sin x} dx = \int \frac{1+\sin x}{(1-\sin x)(1+\sin x)} dx = \int \frac{1+\sin x}{1-\sin^2 x} dx = \int \frac{1+\sin x}{\cos^2 x} dx$

$=\int \frac{1}{\cos^2 x} dx + \int \frac{\sin x}{\cos^2 x} dx$

$=\int \sec^2 x dx + \int \frac{\sin x}{\cos^2 x} dx$

ここで、$t = \cos x$ と置換すると、$\frac{dt}{dx} = -\sin x$ より $dt = -\sin x dx$となる。

$\int \frac{\sin x}{\cos^2 x} dx = \int \frac{-1}{t^2} dt = \int -t^{-2} dt = t^{-1} + C_1 = \frac{1}{\cos x} + C_1$

$\int \sec^2 x dx = \tan x + C_2$

したがって、

$\int \frac{1}{1-\sin x} dx = \tan x + \frac{1}{\cos x} + C = \tan x + \sec x + C$

3. 最終的な答え

(1) $\ln \left| \frac{\sin x}{\sin x + 1} \right| + C$

(4) $\tan x + \sec x + C$