与えられた問題は、次の数列の和を計算することです。 $\sum_{n=1}^8 \frac{1}{2 + \sqrt{n}}$

1. 問題の内容

与えられた問題は、次の数列の和を計算することです。

$\sum_{n=1}^8 \frac{1}{2 + \sqrt{n}}$

2. 解き方の手順

まず、$\frac{1}{2 + \sqrt{n}}$ の分母を有理化します。

$\frac{1}{2 + \sqrt{n}} = \frac{1}{2 + \sqrt{n}} \cdot \frac{2 - \sqrt{n}}{2 - \sqrt{n}} = \frac{2 - \sqrt{n}}{4 - n}$

したがって、

$\sum_{n=1}^8 \frac{1}{2 + \sqrt{n}} = \sum_{n=1}^8 \frac{2 - \sqrt{n}}{4 - n}$

この和を直接計算するのは難しいので、部分和を計算します。

$n = 1$ のとき、$\frac{2 - \sqrt{1}}{4 - 1} = \frac{1}{3}$

$n = 2$ のとき、$\frac{2 - \sqrt{2}}{4 - 2} = \frac{2 - \sqrt{2}}{2} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$

$n = 3$ のとき、$\frac{2 - \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 - \sqrt{3}$

$n = 4$ のとき、$\frac{2 - \sqrt{4}}{4 - 4} = \frac{0}{0}$ となり不定形です。

そこで、元の式に戻って $\frac{1}{2 + \sqrt{4}} = \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}$ を計算します。

$n = 5$ のとき、$\frac{2 - \sqrt{5}}{4 - 5} = \frac{2 - \sqrt{5}}{-1} = \sqrt{5} - 2$

$n = 6$ のとき、$\frac{2 - \sqrt{6}}{4 - 6} = \frac{2 - \sqrt{6}}{-2} = \frac{\sqrt{6}}{2} - 1$

$n = 7$ のとき、$\frac{2 - \sqrt{7}}{4 - 7} = \frac{2 - \sqrt{7}}{-3} = \frac{\sqrt{7} - 2}{3}$

$n = 8$ のとき、$\frac{2 - \sqrt{8}}{4 - 8} = \frac{2 - 2\sqrt{2}}{-4} = \frac{2\sqrt{2} - 2}{4} = \frac{\sqrt{2} - 1}{2}$

これらの値を足し合わせると、

$\frac{1}{3} + (1 - \frac{\sqrt{2}}{2}) + (2 - \sqrt{3}) + \frac{1}{4} + (\sqrt{5} - 2) + (\frac{\sqrt{6}}{2} - 1) + (\frac{\sqrt{7} - 2}{3}) + (\frac{\sqrt{2} - 1}{2})$

$= \frac{1}{3} + 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 - \sqrt{3} + \frac{1}{4} + \sqrt{5} - 2 + \frac{\sqrt{6}}{2} - 1 + \frac{\sqrt{7}}{3} - \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2}$

$= (\frac{1}{3} + 1 + 2 + \frac{1}{4} - 2 - 1 - \frac{2}{3} - \frac{1}{2}) + (-\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) - \sqrt{3} + \sqrt{5} + \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{7}}{3}$

$= (\frac{4 + 12 + 24 + 3 - 24 - 12 - 8 - 6}{12}) - \sqrt{3} + \sqrt{5} + \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{7}}{3}$

$= \frac{3}{12} - \sqrt{3} + \sqrt{5} + \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{7}}{3}$

$= \frac{1}{4} - \sqrt{3} + \sqrt{5} + \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{7}}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{4} - \sqrt{3} + \sqrt{5} + \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{7}}{3}$