与えられた無限級数の和を求める問題です。級数は $\qquad \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \cdots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} + \cdots$ で表されます。

1. 問題の内容

与えられた無限級数の和を求める問題です。級数は

$\qquad \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \cdots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} + \cdots$

で表されます。

2. 解き方の手順

この級数は、各項が部分分数分解できることに着目して解きます。

$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$ を部分分数に分解すると、

$\qquad \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{A}{2n-1} + \frac{B}{2n+1}$

となります。両辺に $(2n-1)(2n+1)$ をかけると、

$\qquad 1 = A(2n+1) + B(2n-1)$

となります。この式が任意の $n$ について成り立つためには、

$\qquad 2A + 2B = 0$

$\qquad A - B = 1$

という連立方程式が成り立てばよいです。この連立方程式を解くと、 $A = \frac{1}{2}$、 $B = -\frac{1}{2}$ となります。

したがって、

$\qquad \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}\right)$

となります。元の級数の第 $n$ 項までの部分和 $S_n$ は、

$$

\begin{aligned}

S_n &= \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} \\

&= \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1}\right) \\

&= \frac{1}{2} \left[ \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}\right) \right] \\

&= \frac{1}{2} \left(1 - \frac{1}{2n+1}\right)

\end{aligned}

$$

となります。求める無限級数の和は、この部分和の $n \to \infty$ の極限です。

$\qquad \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{2n+1}\right) = \frac{1}{2}(1 - 0) = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$