極限 $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sqrt[n]{\frac{(4n)!}{(3n)!}}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

極限 $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sqrt[n]{\frac{(4n)!}{(3n)!}}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式の対数を取ります。

$L = \lim_{n\to\infty} \ln\left(\frac{1}{n} \sqrt[n]{\frac{(4n)!}{(3n)!}}\right)$

対数の性質を使って式を整理します。

$L = \lim_{n\to\infty} \left( \ln\left(\frac{1}{n}\right) + \frac{1}{n} \ln\left(\frac{(4n)!}{(3n)!}\right) \right)$

$L = \lim_{n\to\infty} \left( -\ln(n) + \frac{1}{n} \ln((4n)!) - \frac{1}{n} \ln((3n)!) \right)$

ここで、スターリングの近似 $\ln(n!) \approx n\ln(n) - n$ を用います。

$L = \lim_{n\to\infty} \left( -\ln(n) + \frac{1}{n} (4n\ln(4n) - 4n) - \frac{1}{n} (3n\ln(3n) - 3n) \right)$

$L = \lim_{n\to\infty} \left( -\ln(n) + 4\ln(4n) - 4 - 3\ln(3n) + 3 \right)$

$L = \lim_{n\to\infty} \left( -\ln(n) + 4\ln(4) + 4\ln(n) - 4 - 3\ln(3) - 3\ln(n) + 3 \right)$

$L = \lim_{n\to\infty} \left( (4-3-1)\ln(n) + 4\ln(4) - 3\ln(3) - 1 \right)$

$L = \lim_{n\to\infty} \left( 0\ln(n) + 4\ln(4) - 3\ln(3) - 1 \right)$

$L = 4\ln(4) - 3\ln(3) - 1$

$L = \ln(4^4) - \ln(3^3) - 1$

$L = \ln(256) - \ln(27) - 1$

$L = \ln\left(\frac{256}{27}\right) - 1$

$L = \ln\left(\frac{256}{27}\right) - \ln(e)$

$L = \ln\left(\frac{256}{27e}\right)$

したがって、求める極限は

$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sqrt[n]{\frac{(4n)!}{(3n)!}} = e^L = e^{\ln\left(\frac{256}{27e}\right)} = \frac{256}{27e}$

3. 最終的な答え

$\frac{256}{27e}$