放物線 $y=x^2$ 上の点 $P(a, a^2)$ (ただし $a > 0$) における接線 $l$ に対して、点 $P$ を通り $l$ と直交する直線 $m$ の方程式を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y=x^2$ 上の点 $P(a, a^2)$ (ただし $a > 0$) における接線 $l$ に対して、点 $P$ を通り $l$ と直交する直線 $m$ の方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、放物線 $y=x^2$ を微分して、点 $P(a, a^2)$ における接線 $l$ の傾きを求める。

$y' = 2x$

点 $P(a, a^2)$ における接線 $l$ の傾きは $2a$ である。

次に、直線 $m$ は直線 $l$ と直交するので、直線 $m$ の傾きは $-\frac{1}{2a}$ である。

直線 $m$ は点 $P(a, a^2)$ を通るので、直線 $m$ の方程式は、傾き $-\frac{1}{2a}$ と点 $(a, a^2)$ を用いて、

$y - a^2 = -\frac{1}{2a}(x - a)$

と表せる。

これを整理して、

$y = -\frac{1}{2a}x + \frac{1}{2} + a^2$

3. 最終的な答え

$y = -\frac{1}{2a}x + a^2 + \frac{1}{2}$