(1) 曲線 $x = y^2 - 2y + 3$, $x$軸, $y$軸および直線 $y = 3$で囲まれた部分の面積 $S$を求めよ。 (2) 曲線 $x = e^y - 1$, 直線 $x = e^2 - 1$ および $x$軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 曲線 $x = y^2 - 2y + 3$, $x$軸, $y$軸および直線 $y = 3$で囲まれた部分の面積 $S$を求めよ。

(2) 曲線 $x = e^y - 1$, 直線 $x = e^2 - 1$ および $x$軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$x = y^2 - 2y + 3 = (y - 1)^2 + 2$ である。

$x$軸, $y$軸および直線 $y = 3$で囲まれた部分の面積を求める。積分範囲は$y=0$から$y=3$までである。

面積$S$は、

$S = \int_0^3 (y^2 - 2y + 3) dy = [\frac{1}{3}y^3 - y^2 + 3y]_0^3 = (\frac{1}{3}(3)^3 - (3)^2 + 3(3)) - 0 = 9 - 9 + 9 = 9$

(2)

曲線 $x = e^y - 1$ を $y$ について解くと、$x + 1 = e^y$ より $y = \log(x + 1)$ となる。

積分範囲は $x = 0$ から $x = e^2 - 1$ までである。

面積$S$は、

$S = \int_0^{e^2 - 1} \log(x + 1) dx$

ここで、$u = x + 1$ とすると、$du = dx$ であり、$x = 0$ のとき $u = 1$, $x = e^2 - 1$ のとき $u = e^2$ となる。

$S = \int_1^{e^2} \log(u) du$

部分積分を行う。

$\int \log(u) du = u \log(u) - \int u \cdot \frac{1}{u} du = u \log(u) - \int 1 du = u \log(u) - u$

したがって、

$S = [u \log(u) - u]_1^{e^2} = (e^2 \log(e^2) - e^2) - (1 \log(1) - 1) = (e^2 \cdot 2 - e^2) - (0 - 1) = 2e^2 - e^2 + 1 = e^2 + 1$

3. 最終的な答え

(1) $S = 9$

(2) $S = e^2 + 1$