次の等式を満たす関数 $f(x)$ を求める問題です。 $\int_{0}^{x} (x-t)f(t) dt = \sin x - x$ 選択肢の中から答えを選びます。

1. 問題の内容

次の等式を満たす関数 $f(x)$ を求める問題です。

$\int_{0}^{x} (x-t)f(t) dt = \sin x - x$

選択肢の中から答えを選びます。

2. 解き方の手順

積分方程式の両辺を $x$ で微分します。まず、左辺を計算します。

$\int_{0}^{x} (x-t)f(t) dt = x \int_{0}^{x} f(t) dt - \int_{0}^{x} tf(t) dt$

この式の両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{d}{dx} \left( x \int_{0}^{x} f(t) dt - \int_{0}^{x} tf(t) dt \right) = \int_{0}^{x} f(t) dt + xf(x) - xf(x) = \int_{0}^{x} f(t) dt$

一方、右辺 $\sin x - x$ を $x$ で微分すると、

$\frac{d}{dx}(\sin x - x) = \cos x - 1$

したがって、

$\int_{0}^{x} f(t) dt = \cos x - 1$

さらに両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{d}{dx} \int_{0}^{x} f(t) dt = \frac{d}{dx} (\cos x - 1)$

$f(x) = -\sin x$

3. 最終的な答え

$f(x) = -\sin x$

したがって、選択肢の②が答えです。