問題は、関数 $f(x)$ が与えられたときに、その導関数 $f'(x)$ から $f(x)$ の極値や、ある範囲における最大値・最小値を求め、さらに $t \leq x \leq t+1$ の範囲での最大値 $M(t)$ と最小値 $m(t)$ を定義し、それらに関する条件を満たす $t$ の範囲や、$M(t) - m(t)$ の最大値を求める問題です。

1. 問題の内容

問題は、関数 $f(x)$ が与えられたときに、その導関数 $f'(x)$ から $f(x)$ の極値や、ある範囲における最大値・最小値を求め、さらに $t \leq x \leq t+1$ の範囲での最大値 $M(t)$ と最小値 $m(t)$ を定義し、それらに関する条件を満たす $t$ の範囲や、$M(t) - m(t)$ の最大値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$f'(x) = 3x^2 - 6x$ が与えられているので、$f(x)$ を積分で求めます。

$f(x) = \int (3x^2 - 6x) dx = x^3 - 3x^2 + C$ (Cは積分定数)

$f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = 0$ と $x = 2$

$x=0$のとき極大値、$x=2$のとき極小値を取る。

$f(0)$の値は6なので、$C = 6$

$f(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 + 6 = 8 - 12 + 6 = 2$

したがって、$f(x) = x^3 - 3x^2 + 6$

$3 \le x \le 5$ の範囲において、$f(x)$は$x=5$で最大値、$x=3$で最小値をとる。

$f(3)=3^3 - 3 \cdot 3^2 + 6 = 6$

$f(5)=5^3 - 3 \cdot 5^2 + 6 = 125 - 75 + 6 = 56$

$1 \le x \le 3$ の範囲において、$f(x)$は$x=1$で最大値、$x=2$で最小値をとる。

$f(1)=1^3 - 3 \cdot 1^2 + 6 = 4$

(2)

$M(t) = f(t+1)$ かつ $m(t) = f(t)$ となるのは、$t \le x \le t+1$ の範囲で $f(x)$ が単調増加の場合。

$f'(x) = 3x(x-2)$ より、$f'(x) > 0$ となるのは $x<0$ または $x>2$ のとき。

つまり、$t+1 \le 0$ または $t \ge 2$ のとき、$t \le x \le t+1$ で $f(x)$ は単調増加。

$t \le -1$ または $t \ge 2$ 。したがって、$t \le -1$ または $2 \le t$ 。

$M(t) = f(t)$ かつ $m(t) = f(t+1)$ となるのは、$t \le x \le t+1$ の範囲で $f(x)$ が単調減少の場合。

$0 < x < 2$ のとき、$f'(x) < 0$ 。

したがって、$0 \le t$ かつ $t+1 \le 2$ 、つまり $0 \le t \le 1$ 。

$0 \le t \le 1$の範囲において、$M(t) - m(t) = f(t) - f(t+1) = (t^3 - 3t^2 + 6) - ((t+1)^3 - 3(t+1)^2 + 6) = t^3 - 3t^2 - (t^3 + 3t^2 + 3t + 1 - 3(t^2 + 2t + 1)) = -3t^2 + 3t + 2$

$g(t) = -3t^2 + 3t + 2$

$g'(t) = -6t + 3$

$g'(t) = 0$ となるのは $t = \frac{1}{2}$

$t = \frac{1}{2}$ のとき最大値をとる。

$g(\frac{1}{2}) = -3(\frac{1}{4}) + 3(\frac{1}{2}) + 2 = -\frac{3}{4} + \frac{3}{2} + 2 = \frac{-3 + 6 + 8}{4} = \frac{11}{4}$

3. 最終的な答え

ウ: 0

エ: 6

オ: 2

カ: 2

キ: 5

ク: 3

ケ: 1

コ: 2

サシ: -1

ス: 2

セ: 0

ソ: 1

タ: 1/2

チ: 11/4