すべての実数 $x$ に対して、$\cos(x+\alpha) + \sin(x+\beta) + \sqrt{2}\cos x$ が一定の値になるような $\alpha, \beta$ の値を求める問題です。ただし、$0 \le \alpha < 2\pi$、$0 \le \beta < 2\pi$ とします。

1. 問題の内容

すべての実数 $x$ に対して、$\cos(x+\alpha) + \sin(x+\beta) + \sqrt{2}\cos x$ が一定の値になるような $\alpha, \beta$ の値を求める問題です。ただし、$0 \le \alpha < 2\pi$、$0 \le \beta < 2\pi$ とします。

2. 解き方の手順

$\cos(x+\alpha)$ と $\sin(x+\beta)$ を加法定理で展開します。

$\cos(x+\alpha) = \cos x \cos \alpha - \sin x \sin \alpha$

$\sin(x+\beta) = \sin x \cos \beta + \cos x \sin \beta$

したがって、

$\cos(x+\alpha) + \sin(x+\beta) + \sqrt{2}\cos x = (\cos \alpha + \sin \beta + \sqrt{2})\cos x + (\cos \beta - \sin \alpha)\sin x$

この式が $x$ によらず一定の値になるためには、$\cos x$ と $\sin x$ の係数がともに 0 でなければなりません。

よって、以下の2つの式が成り立ちます。

$\cos \alpha + \sin \beta + \sqrt{2} = 0$

$\cos \beta - \sin \alpha = 0$

2つ目の式から $\cos \beta = \sin \alpha$ が得られます。

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \beta = \sin^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$

$2 \sin^2 \alpha = 1$

$\sin^2 \alpha = \frac{1}{2}$

$\sin \alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

$0 \le \alpha < 2\pi$ より、$\alpha = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$

$\cos \beta = \sin \alpha$ なので、

$\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき $\cos \beta = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\sin \alpha = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき $\cos \beta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

$0 \le \beta < 2\pi$ より、

$\cos \beta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき $\beta = \frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$

$\cos \beta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき $\beta = \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$

$\cos \alpha + \sin \beta + \sqrt{2} = 0$ を満たす組み合わせを考えます。

(1) $\alpha = \frac{\pi}{4}$ のとき、$\sin \beta = -\cos \alpha - \sqrt{2} = -\frac{1}{\sqrt{2}} - \sqrt{2} = -\frac{3}{\sqrt{2}}$。これは $-1 \le \sin \beta \le 1$ を満たさないので不適。

(2) $\alpha = \frac{3\pi}{4}$ のとき、$\sin \beta = -\cos \alpha - \sqrt{2} = -(-\frac{1}{\sqrt{2}}) - \sqrt{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} - \sqrt{2} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$。したがって、$\beta = \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$.

(3) $\alpha = \frac{5\pi}{4}$ のとき、$\sin \beta = -\cos \alpha - \sqrt{2} = -(-\frac{1}{\sqrt{2}}) - \sqrt{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} - \sqrt{2} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$。したがって、$\beta = \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$.

(4) $\alpha = \frac{7\pi}{4}$ のとき、$\sin \beta = -\cos \alpha - \sqrt{2} = -\frac{1}{\sqrt{2}} - \sqrt{2} = -\frac{3}{\sqrt{2}}$。これは $-1 \le \sin \beta \le 1$ を満たさないので不適。

$\beta = \frac{5\pi}{4}$ のとき、$\cos \beta = -\frac{1}{\sqrt{2}} = \sin \alpha$ なので $\alpha = \frac{3\pi}{4}$.

$\beta = \frac{7\pi}{4}$ のとき、$\cos \beta = \frac{1}{\sqrt{2}} = \sin \alpha$ なので $\alpha = \frac{\pi}{4}$. これは不適。

よって、$\alpha = \frac{3\pi}{4}$, $\beta = \frac{5\pi}{4}$

3. 最終的な答え

$\alpha = \frac{3\pi}{4}$

$\beta = \frac{5\pi}{4}$