放物線 $y = x^2$ 上の点 $P(a, a^2)$ における接線を $l$ とする ($a > 0$)。 (1) 点 $P$ を通り、$l$ と直交する直線 $m$ の式を求める。 (2) 放物線 $y = x^2$ と直線 $m$ で囲まれた図形の面積を最小にする $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2$ 上の点 $P(a, a^2)$ における接線を $l$ とする ($a > 0$)。

(1) 点 $P$ を通り、$l$ と直交する直線 $m$ の式を求める。

(2) 放物線 $y = x^2$ と直線 $m$ で囲まれた図形の面積を最小にする $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 放物線 $y = x^2$ の点 $P(a, a^2)$ における接線 $l$ の傾きを求める。

$y' = 2x$ より、点 $P$ における接線 $l$ の傾きは $2a$ である。

直線 $m$ は直線 $l$ と直交するので、直線 $m$ の傾きは $-\frac{1}{2a}$ である。

また、直線 $m$ は点 $P(a, a^2)$ を通るので、直線 $m$ の方程式は

$y - a^2 = -\frac{1}{2a}(x - a)$

$y = -\frac{1}{2a}x + \frac{1}{2} + a^2$

(2) 放物線 $y = x^2$ と直線 $m$ の交点を求める。

$x^2 = -\frac{1}{2a}x + \frac{1}{2} + a^2$

$x^2 + \frac{1}{2a}x - \frac{1}{2} - a^2 = 0$

$2ax^2 + x - a - 2a^3 = 0$

$(x - a)(2ax + 2a^2 + 1) = 0$

よって、$x = a, -\frac{2a^2 + 1}{2a}$

したがって、放物線 $y = x^2$ と直線 $m$ で囲まれた図形の面積 $S$ は

$S = \int_{-\frac{2a^2 + 1}{2a}}^{a} \left( -\frac{1}{2a}x + \frac{1}{2} + a^2 - x^2 \right) dx$

$S = \left[ -\frac{1}{4a}x^2 + \left( \frac{1}{2} + a^2 \right)x - \frac{1}{3}x^3 \right]_{-\frac{2a^2 + 1}{2a}}^{a}$

$S = \left( -\frac{1}{4a}a^2 + \frac{1}{2}a + a^3 - \frac{1}{3}a^3 \right) - \left( -\frac{1}{4a} \left( \frac{2a^2 + 1}{2a} \right)^2 + \left( \frac{1}{2} + a^2 \right) \left( -\frac{2a^2 + 1}{2a} \right) - \frac{1}{3} \left( -\frac{2a^2 + 1}{2a} \right)^3 \right)$

$S = \frac{2}{3} a^3 + \frac{1}{12} \frac{(2a^2+1)^3}{a^3}$

$S = \frac{2}{3} (a + \frac{1}{2a})^3$

ここで、 $a > 0$ より、相加相乗平均の関係から

$a + \frac{1}{2a} \geq 2 \sqrt{a \cdot \frac{1}{2a}} = \sqrt{2}$

したがって、 $S$ は $a = \frac{1}{2a}$ つまり $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$ のとき最小値をとる。

3. 最終的な答え

(1) $y = -\frac{1}{2a}x + \frac{1}{2} + a^2$

(2) $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$