$f(x) = -x^2 + 2x + 1$ と $g(x) = -2x - 4$ のグラフで囲まれた図形の面積を求めます。

## 数学の問題の解答

### (1) の問題

1. 問題の内容

$f(x) = -x^2 + 2x + 1$ と $g(x) = -2x - 4$ のグラフで囲まれた図形の面積を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ と $g(x)$ の交点を求めます。

$-x^2 + 2x + 1 = -2x - 4$

$x^2 - 4x - 5 = 0$

$(x - 5)(x + 1) = 0$

よって、$x = -1, 5$ が交点の $x$ 座標です。

次に、面積を求める積分を設定します。$f(x)$ と $g(x)$ の大小関係を $-1 \le x \le 5$ で調べると、$f(x) \ge g(x)$ なので、求める面積 $S$ は

$S = \int_{-1}^{5} [f(x) - g(x)] dx$

$S = \int_{-1}^{5} [(-x^2 + 2x + 1) - (-2x - 4)] dx$

$S = \int_{-1}^{5} (-x^2 + 4x + 5) dx$

$S = [-\frac{1}{3}x^3 + 2x^2 + 5x]_{-1}^{5}$

$S = (-\frac{125}{3} + 50 + 25) - (\frac{1}{3} + 2 - 5)$

$S = (-\frac{125}{3} + 75) - (\frac{1}{3} - 3)$

$S = -\frac{126}{3} + 78$

$S = -42 + 78$

$S = 36$

3. 最終的な答え

36

### (2) の問題

1. 問題の内容

$y = x^2 + 1$ と $y = -x^2 + 2x + 4$ のグラフで囲まれた図形の面積を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$y = x^2 + 1$ と $y = -x^2 + 2x + 4$ の交点を求めます。

$x^2 + 1 = -x^2 + 2x + 4$

$2x^2 - 2x - 3 = 0$

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 24}}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{4} = \frac{2 \pm 2\sqrt{7}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{7}}{2}$

よって、$x = \frac{1 - \sqrt{7}}{2}, \frac{1 + \sqrt{7}}{2}$ が交点の $x$ 座標です。

次に、面積を求める積分を設定します。$\frac{1 - \sqrt{7}}{2} \le x \le \frac{1 + \sqrt{7}}{2}$ で $-x^2 + 2x + 4 \ge x^2 + 1$ なので、面積 $S$ は

$S = \int_{\frac{1 - \sqrt{7}}{2}}^{\frac{1 + \sqrt{7}}{2}} [(-x^2 + 2x + 4) - (x^2 + 1)] dx$

$S = \int_{\frac{1 - \sqrt{7}}{2}}^{\frac{1 + \sqrt{7}}{2}} (-2x^2 + 2x + 3) dx$

$S = [-\frac{2}{3}x^3 + x^2 + 3x]_{\frac{1 - \sqrt{7}}{2}}^{\frac{1 + \sqrt{7}}{2}}$

$S = [-\frac{2}{3} (\frac{1+\sqrt{7}}{2})^3 + (\frac{1+\sqrt{7}}{2})^2 + 3(\frac{1+\sqrt{7}}{2})] - [-\frac{2}{3} (\frac{1-\sqrt{7}}{2})^3 + (\frac{1-\sqrt{7}}{2})^2 + 3(\frac{1-\sqrt{7}}{2})]$

$S = \int_{\frac{1 - \sqrt{7}}{2}}^{\frac{1 + \sqrt{7}}{2}} (-2x^2 + 2x + 3) dx$を計算すると$\frac{7\sqrt{7}}{3}$になる。

3. 最終的な答え

$\frac{7\sqrt{7}}{3}$

### (3) の問題

1. 問題の内容

放物線 $y = -\frac{x^2}{2} + 2$ 上の点 $(1, \frac{3}{2})$ における接線 $\ell$ の方程式を求め、この放物線と接線 $\ell$ と $x$ 軸で囲まれる部分の面積を求めます。

2. 解き方の手順

まず、接線の方程式を求めます。

$y' = -x$ なので、点 $(1, \frac{3}{2})$ における接線の傾きは $-1$ です。

よって、接線 $\ell$ の方程式は $y - \frac{3}{2} = -1(x - 1)$ となり、$y = -x + \frac{5}{2}$ です。

次に、放物線と接線と $x$ 軸で囲まれた面積を求めます。

放物線 $y = -\frac{x^2}{2} + 2$ と $x$ 軸との交点は $-\frac{x^2}{2} + 2 = 0$ より、$x^2 = 4$ で、$x = \pm 2$。

接線 $y = -x + \frac{5}{2}$ と $x$ 軸との交点は $-x + \frac{5}{2} = 0$ より、$x = \frac{5}{2}$。

積分範囲は $1 \le x \le 2$ の区間では、放物線が上にあり、接線が下にあります。また $2 \le x \le \frac{5}{2}$の区間では接線が上にあり、x軸が下にあります。したがって面積は

$S = \int_{1}^{2} (-\frac{x^2}{2} + 2 - 0) dx + \int_{2}^{\frac{5}{2}} (-x + \frac{5}{2}) dx$

$S = [-\frac{x^3}{6} + 2x]_1^2 + [-\frac{x^2}{2} + \frac{5}{2}x]_2^{\frac{5}{2}}$

$S = (-\frac{8}{6} + 4) - (-\frac{1}{6} + 2) + (-\frac{25}{8} + \frac{25}{4}) - (-\frac{4}{2} + \frac{10}{2})$

$S = (-\frac{4}{3} + 4) - (-\frac{1}{6} + 2) + (-\frac{25}{8} + \frac{50}{8}) - (-2 + 5)$

$S = \frac{8}{3} - \frac{11}{6} + \frac{25}{8} - 3 = \frac{16-11}{6} + \frac{25}{8} - 3 = \frac{5}{6} + \frac{25}{8} -3 = \frac{20+75-72}{24} = \frac{23}{24}$

3. 最終的な答え

接線の方程式: $y = -x + \frac{5}{2}$

面積: $\frac{23}{24}$