与えられた極限 $\lim_{n \to \infty} (\frac{3}{5})^n \cos(\sqrt{n}\pi)$ の値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた極限 $\lim_{n \to \infty} (\frac{3}{5})^n \cos(\sqrt{n}\pi)$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

$\lim_{n \to \infty} (\frac{3}{5})^n \cos(\sqrt{n}\pi)$ を計算します。

まず、$0 < \frac{3}{5} < 1$ なので、

$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{3}{5}\right)^n = 0$$

となります。

次に、$\cos(\sqrt{n}\pi)$ は $-1$ から $1$ の間の値を振動します。つまり、

$$-1 \le \cos(\sqrt{n}\pi) \le 1$$

が成り立ちます。

したがって、

$$-\left(\frac{3}{5}\right)^n \le \left(\frac{3}{5}\right)^n \cos(\sqrt{n}\pi) \le \left(\frac{3}{5}\right)^n$$

が成り立ちます。ここで、

$$\lim_{n \to \infty} -\left(\frac{3}{5}\right)^n = 0$$

$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{3}{5}\right)^n = 0$$

であるので、はさみうちの原理より、

$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{3}{5}\right)^n \cos(\sqrt{n}\pi) = 0$$

となります。

3. 最終的な答え

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